이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 2차원 평면에서 한 점으로부터 직선까지의 최단 거리, 즉 수직 거리를 구해 줍니다. 직선은 일반형 \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) 형태로 입력하고, 점은 좌표 \((x_0, y_0)\)로 지정합니다. 결과는 직선에 수직으로 잰 길이이므로 항상 0 이상의 값으로 나옵니다.
사용 방법
직선 방정식의 세 계수 a, b, c를 입력한 다음, 점의 좌표를 입력하세요. 그리고 계산 버튼을 누르면 됩니다. 만약 직선이 \(y = m\cdot x + k\) 처럼 기울기-절편 형태라면, \(m\cdot x - y + k = 0\) 으로 바꿔 \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\) 로 입력하면 됩니다.
공식 설명
거리는 다음과 같이 구합니다.
$$d = \frac{\left| a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
분자는 점의 좌표가 직선 방정식을 얼마나 만족하지 못하는지를 나타내고, 이를 \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)로 나누어 직선의 법선 벡터 \((a, b)\)의 크기로 정규화합니다. 절댓값을 취하므로 거리는 항상 양수가 되며, 절댓값을 빼면 점이 직선의 어느 쪽에 있는지를 부호로 알려 주는 '부호 있는 거리'가 됩니다.
예제 풀이
직선 \(3x + 4y - 5 = 0\) 과 점 \((0, 0)\)을 예로 들어 봅시다. 분자는 \(|3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 5| = 5\) 입니다. 분모는 \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\) 입니다. 따라서 다음과 같이 됩니다.
$$d = \frac{5}{5} = 1$$
즉, 원점은 이 직선으로부터 정확히 1만큼 떨어져 있습니다.
자주 묻는 질문
a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 \(a\cdot x + b\cdot y + c = 0\) 은 직선이 아니므로 거리를 정의할 수 없습니다. 0으로 나누는 오류를 피하기 위해 계산기는 0을 반환합니다.
d의 부호가 의미가 있나요? 기본 거리는 항상 양수입니다. '부호 있는 거리' 항목은 점이 직선을 기준으로 어느 쪽 반평면에 있는지를 알려 줍니다. 한쪽은 양수, 반대쪽은 음수로 표시됩니다.
두 점을 지나는 직선에도 사용할 수 있나요? 네, 가능합니다. 두 점 \((x_1,y_1)\)과 \((x_2,y_2)\)를 \(a = y_2-y_1\), \(b = x_1-x_2\), \(c = x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2\) 로 변환한 뒤, 그 계수들을 입력하면 됩니다.
