Công cụ này làm được gì
Công cụ giúp bạn tìm ảnh đối xứng (phép phản chiếu) của một điểm qua một đường thẳng. Bạn chỉ cần nhập một điểm bất kỳ (x, y) và một đường thẳng viết ở dạng tổng quát \(ax + by + c = 0\), kết quả trả về là điểm đối xứng (x', y') — điểm nằm ở phía bên kia đường thẳng, cách đường thẳng đúng bằng khoảng cách vuông góc.
Cách sử dụng
Nhập tọa độ của điểm, sau đó nhập ba hệ số a, b và c của đường thẳng. Nếu đường thẳng của bạn đang ở dạng hệ số góc như y = mx + k, hãy viết lại thành mx − y + k = 0 để có \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\). Đường thẳng đứng x = 5 trở thành 1·x + 0·y − 5 = 0.
Giải thích công thức
Đại lượng có dấu d = (ax + by + c) / (a² + b²) cho biết điểm nằm lệch khỏi đường thẳng bao nhiêu, được chuẩn hóa theo các hệ số của đường thẳng. Khi đi ngược lại hai lần khoảng cách đó dọc theo vectơ pháp tuyến \((a, b)\), bạn sẽ rơi đúng vào điểm đối xứng:
x' = x − 2a·d và y' = y − 2b·d. Nếu điểm vốn đã nằm trên đường thẳng thì \(ax + by + c = 0\), nên nó được ánh xạ về chính nó.
Ví dụ minh họa
Tìm điểm đối xứng của (3, 4) qua đường thẳng \(x - y = 0\) (\(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 0\)). Ở đây \(a^{2} + b^{2} = 2\) và \(ax + by + c = 3 - 4 = -1\), nên \(d = -\tfrac{1}{2}\). Khi đó \(x' = 3 - 2(1)(-0.5) = 4\) và \(y' = 4 - 2(-1)(-0.5) = 3\). Vậy ảnh đối xứng của (3, 4) qua đường \(y = x\) là (4, 3) — đúng như phép hoán đổi mà bạn dự đoán.
Câu hỏi thường gặp
a, b hoặc c có thể bằng 0 không? Có. Chỉ trường hợp \(a = b = 0\) là không hợp lệ, vì khi đó không tồn tại đường thẳng nào; công cụ sẽ tự động ngăn việc chia cho 0.
Đường thẳng có bắt buộc đi qua gốc tọa độ không? Không. Hằng số c giúp tịnh tiến đường thẳng, và công thức vẫn xử lý được mọi vị trí.
Nếu đường thẳng của tôi là y = mx + k thì sao? Hãy chuyển nó về m·x − 1·y + k = 0, khi đó \(a = m\), \(b = -1\), \(c = k\).
