Что вычисляет калькулятор
Этот инструмент находит зеркальное отражение точки относительно прямой. Задайте любую точку (x, y) и прямую в общем виде ax + by + c = 0 — и калькулятор вернёт отражённую точку (x′, y′): точку по другую сторону прямой, расположенную на том же расстоянии по перпендикуляру.
Как пользоваться
Введите координаты исходной точки, а затем три коэффициента прямой — a, b и c. Если ваша прямая задана через угловой коэффициент, как y = mx + k, перепишите её в виде mx − y + k = 0, тогда a = m, b = −1, c = k. Вертикальная прямая x = 5 превращается в 1·x + 0·y − 5 = 0.
Разбор формулы
Знаковая величина \(d = \dfrac{ax + by + c}{a^{2} + b^{2}}\) показывает, насколько точка отклонена от прямой, с учётом масштаба, заданного коэффициентами прямой. Если отступить от точки на удвоенное это расстояние вдоль вектора нормали \((a, b)\), вы попадёте точно в зеркальное отражение:
$$x' = x - 2a\cdot d \qquad y' = y - 2b\cdot d$$Если точка уже лежит на прямой, то \(ax + by + c = 0\), и она отображается сама в себя.
Пример с решением
Отразим точку (3, 4) относительно прямой x − y = 0 (a = 1, b = −1, c = 0). Здесь \(a^{2} + b^{2} = 2\) и \(ax + by + c = 3 - 4 = -1\), поэтому \(d = -\dfrac{1}{2}\). Тогда $$x' = 3 - 2(1)(-0{,}5) = 4 \qquad y' = 4 - 2(-1)(-0{,}5) = 3$$ Отражение точки (3, 4) относительно прямой y = x — это (4, 3), то есть координаты просто меняются местами, как и следовало ожидать.
Частые вопросы
Могут ли a, b или c быть равны нулю? Да. Недопустим только случай a = b = 0, потому что тогда прямой попросту не существует; калькулятор защищён от деления на ноль.
Должна ли прямая проходить через начало координат? Нет. Свободный член c сдвигает прямую, и формула работает при любом её положении.
Что делать, если прямая задана как y = mx + k? Приведите её к виду m·x − 1·y + k = 0, тогда a = m, b = −1, c = k.
