이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 고대 수학자 아르키메데스의 고전적인 방법으로 원주율 π를 근사합니다. 지름이 1인 원의 둘레는 정확히 π입니다. 원 바깥에 빈틈없이 둘러싼 정다각형(외접)의 둘레는 π보다 살짝 크고, 원 안에 꽉 차게 그린 정다각형(내접)의 둘레는 π보다 살짝 작습니다. 변의 개수를 계속 두 배로 늘려 가면 두 둘레가 위아래에서 π를 향해 좁혀 들어옵니다.
사용 방법
출발 다각형으로 정사각형(4각형)이나 정육각형(6각형) 중 하나를 고르세요. 변을 두 배로 늘리는 반복 횟수 \(n\)을 입력합니다. \(n\)번 반복하면 다각형의 변은 정사각형에서 시작한 경우 \(4\cdot 2^n\)개, 정육각형에서 시작한 경우 \(6\cdot 2^n\)개가 됩니다. 표시할 자릿수도 선택하세요. 상한과 하한이 컴퓨터의 정밀도 한계까지 일치하면 계산기는 자동으로 멈추므로, \(n\)을 크게 잡아도 전혀 문제없습니다.
공식 풀이
외접 다각형의 둘레를 \(a\), 내접 다각형의 둘레를 \(b\)라고 합시다. 반복할 때마다 먼저 \(a = \frac{2\,a\,b}{a+b}\), 즉 이전 \(a\)와 \(b\)의 조화평균을 구하고, 이어서 \(b = \sqrt{a\,b}\), 즉 새로운 \(a\)와 이전 \(b\)의 기하평균을 구합니다.
$$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k}, \quad b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k}$$정사각형에서 출발하면 \(a_0=4\), \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2.8284271\)이고, 정육각형에서 출발하면 \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3.4641016\), \(b_0=3\)입니다.
$$\text{정사각형: } a_0=4,\ b_0=2\sqrt{2}\qquad \text{정육각형: } a_0=2\sqrt{3},\ b_0=3$$어느 단계에서나 항상 \(b < \pi < a\)가 성립합니다.
계산 예시
정사각형에서 시작해 봅시다. \(a_0=4\), \(b_0=2.82842712\)입니다. 첫 번째 반복에서
$$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2.82842712}{6.82842712}=3.31370850, \quad b_1=\sqrt{3.31370850\cdot 2.82842712}=3.06146746$$이 됩니다. 두 번째 반복에서는 \(a_2 \approx 3.18259788\), \(b_2 \approx 3.12144515\)가 나옵니다. 약 25번 정도 두 배로 늘리고 나면 구간이 \(3.141592653589793\)으로 좁혀지는데, 이는 배정밀도(double precision)에서 표현 가능한 \(\pi\)의 전체 값입니다.
자주 묻는 질문
왜 지름이 1인 원을 쓰나요? 그래야 원의 둘레가 정확히 π와 같아져서, 다각형의 둘레가 별도의 환산 없이 곧바로 π의 근삿값이 되기 때문입니다.
왜 \(n\)번을 다 채우기 전에 멈추나요? 일반적인 배정밀도 연산은 유효숫자를 약 15~16자리까지만 다룹니다. \(a\)와 \(b\)가 그 정밀도 안에서 완전히 같아지면 더 반복해도 답이 나아지지 않으므로 계산이 일찍 종료됩니다.
정사각형과 정육각형 중 무엇이 더 나을까요? 둘 다 같은 값으로 수렴합니다. 다만 정육각형이 π에 더 가까운 곳에서 출발하기 때문에, 같은 정확도에 도달하는 데 필요한 반복 횟수가 약간 더 적습니다.
