Qué hace esta calculadora
Esta herramienta aproxima la constante matemática pi (π) con el método clásico de Arquímedes. En una circunferencia de diámetro 1, la longitud de la circunferencia vale exactamente π. Un polígono regular trazado ajustado por fuera de la circunferencia (circunscrito) tiene un perímetro algo mayor que π, mientras que un polígono regular trazado por dentro (inscrito) tiene un perímetro algo menor que π. Al duplicar repetidamente el número de lados, ambos perímetros van estrechando el cerco sobre π por arriba y por abajo.
Cómo usarla
Elige el polígono de partida: un cuadrado (4 lados) o un hexágono (6 lados). Indica el número de duplicaciones n; tras n vueltas el polígono tendrá \(4\cdot 2^{n}\) lados (rama del cuadrado) o \(6\cdot 2^{n}\) lados (rama del hexágono). Selecciona cuántos dígitos quieres mostrar. La calculadora se detiene antes de tiempo en cuanto las cotas coinciden hasta la precisión de la máquina, así que puedes introducir una n grande sin ningún problema.
La fórmula explicada
Sea a el perímetro del polígono circunscrito y b el del inscrito. En cada iteración se aplica la media armónica de los valores anteriores de a y b,
$$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k},$$y luego la media geométrica del nuevo a y el b anterior,
$$b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k}.$$La rama del cuadrado parte de \(a_0=4\) y \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2{,}8284271\); la rama del hexágono parte de \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3{,}4641016\) y \(b_0=3\). En todo momento se cumple \(b_k < \pi < a_k\).
Ejemplo resuelto
Partiendo de un cuadrado: \(a_0=4\), \(b_0=2{,}82842712\). La primera vuelta da
$$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2{,}82842712}{6{,}82842712}=3{,}31370850$$y
$$b_1=\sqrt{3{,}31370850\cdot 2{,}82842712}=3{,}06146746.$$La segunda vuelta produce \(a_2 \approx 3{,}18259788\) y \(b_2 \approx 3{,}12144515\). Tras unas 25 duplicaciones el intervalo se cierra en \(3{,}141592653589793\), el valor completo de π en doble precisión.
Preguntas frecuentes
¿Por qué una circunferencia de diámetro 1? Porque entonces la longitud de la circunferencia es exactamente π, de modo que los perímetros de los polígonos son estimaciones directas de π sin necesidad de aplicar ningún factor de escala.
¿Por qué se detiene antes de completar las n vueltas? La aritmética habitual de doble precisión maneja unas 15–16 cifras significativas. En cuanto a y b coinciden hasta esa precisión, más iteraciones no mejoran el resultado, así que el cálculo termina antes.
¿Cuadrado o hexágono: cuál es mejor? Ambos convergen al mismo valor. El hexágono parte más cerca de π, por lo que alcanza una precisión dada con algunas duplicaciones menos.
