Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, matematiksel sabit pi (π) sayısını Arşimet'in klasik yöntemiyle yaklaşık olarak hesaplar. Çapı 1 olan bir çemberin çevresi tam olarak π'ye eşittir. Çembere dıştan teğet çizilen düzgün bir çokgenin çevresi π'den biraz büyük, çemberin içine çizilen düzgün bir çokgenin çevresi ise π'den biraz küçüktür. Kenar sayısını tekrar tekrar ikiye katladığınızda, her iki çevre de hem yukarıdan hem aşağıdan π'ye doğru sıkışır.
Nasıl kullanılır?
Bir başlangıç çokgeni seçin: kare (4 kenarlı) ya da altıgen (6 kenarlı). İkiye katlama döngüsü sayısı n'i girin; n döngü sonunda çokgenin \(4\cdot 2^{n}\) kenarı (kare dalı) ya da \(6\cdot 2^{n}\) kenarı (altıgen dalı) olur. Kaç basamak gösterileceğini belirleyin. Hesaplayıcı, alt ve üst sınırlar makine hassasiyetinde eşitlenince işlemi erken durdurur; bu nedenle büyük bir n değeri girmenizde hiçbir sakınca yoktur.
Formülün açıklaması
a, dış teğet çokgenin çevresi; b ise iç çokgenin çevresi olsun. Her adımda önce \(a = \frac{2\cdot a\cdot b}{a+b}\) uygulanır; bu, önceki a ile b değerlerinin harmonik ortalamasıdır. Ardından \(b = \sqrt{a\cdot b}\) hesaplanır; bu da yeni a ile eski b değerinin geometrik ortalamasıdır. Kare dalı \(a_0=4\) ve \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2{,}8284271\) değerleriyle başlar; altıgen dalı ise \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3{,}4641016\) ve \(b_0=3\) değerleriyle başlar. Her adımda \(b < \pi < a\) eşitsizliği geçerlidir.
$$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k}, \quad b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k}$$
Çözümlü örnek
Kareden başlayalım: \(a_0=4\), \(b_0=2{,}82842712\). İlk döngü $$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2{,}82842712}{6{,}82842712}=3{,}31370850$$ ve $$b_1=\sqrt{3{,}31370850\cdot 2{,}82842712}=3{,}06146746$$ sonucunu verir. İkinci döngü \(a_2\approx 3{,}18259788\), \(b_2\approx 3{,}12144515\) değerlerini üretir. Yaklaşık 25 ikiye katlama sonrasında aralık 3,141592653589793 değerine, yani π'nin çift duyarlıklı tam değerine daralır.
Sıkça sorulan sorular
Neden çapı 1 olan bir çember? Çünkü bu durumda çemberin çevresi tam olarak π'ye eşit olur; böylece çokgen çevreleri herhangi bir ölçeklemeye gerek kalmadan doğrudan π'nin tahminleri olur.
Neden n döngüden önce durabiliyor? Standart çift duyarlıklı aritmetik yaklaşık 15–16 anlamlı basamak taşır. a ile b bu hassasiyette birbirine eşit hâle geldiğinde daha fazla döngü sonucu iyileştiremez, bu yüzden iterasyon erken sona erer.
Kare mi altıgen mi daha iyi? İkisi de aynı değere yakınsar. Altıgen π'ye daha yakın bir noktadan başladığı için belirli bir doğruluğa biraz daha az ikiye katlamayla ulaşır.
