這個計算器的用途
本工具採用古典的阿基米德法來逼近數學常數圓周率（π）。當圓的直徑為 1 時，其圓周長恰好等於 π。緊貼在圓外側畫出的正多邊形（外切）周長會略大於 π，而畫在圓內側的正多邊形（內接）周長則略小於 π。只要不斷將邊數加倍，這兩個周長就會從上、下兩個方向同時向 π 靠攏，把它牢牢夾住。
使用方法
先選擇起始的多邊形——正方形（4 邊形）或正六邊形（6 邊形）。接著輸入倍增次數 \(n\)；經過 \(n\) 次倍增後，多邊形會有 \(4 \cdot 2^n\) 個邊（正方形分支）或 \(6 \cdot 2^n\) 個邊（六邊形分支）。再選擇要顯示的小數位數。當上下界已逼近到電腦的運算精度極限時，計算器會自動提前停止，因此即使輸入很大的 \(n\) 也完全沒問題。
公式說明
設 \(a\) 為外切多邊形的周長、\(b\) 為內接多邊形的周長。每一次迭代先計算 $$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k},$$ 也就是前一輪 \(a\) 與 \(b\) 的調和平均數；接著計算 $$b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k},$$ 即新的 \(a\) 與舊的 \(b\) 的幾何平均數。正方形分支的起始值為 \(a_0 = 4\)、\(b_0 = 2\sqrt{2} \approx 2.8284271\)；六邊形分支的起始值為 \(a_0 = 2\sqrt{3} \approx 3.4641016\)、\(b_0 = 3\)。在任何時刻都滿足 \(b < \pi < a\)。
計算範例
以正方形為例：\(a_0 = 4\)、\(b_0 = 2.82842712\)。第一輪得到 $$a_1 = \frac{2 \cdot 4 \cdot 2.82842712}{6.82842712} = 3.31370850,$$ 以及 $$b_1 = \sqrt{3.31370850 \cdot 2.82842712} = 3.06146746.$$ 第二輪得到 \(a_2 \approx 3.18259788\)、\(b_2 \approx 3.12144515\)。大約倍增 25 次之後，上下界就收斂到 \(3.141592653589793\)，也就是雙精度浮點數下完整的 π 值。
常見問題
為什麼要用直徑為 1 的圓？因為這時圓周長剛好等於 π，所以多邊形的周長就是 π 的直接估計值，完全不需要再做任何縮放換算。
為什麼還沒跑滿 \(n\) 次就停了？一般的雙精度運算大約能保留 15–16 位有效數字。當 \(a\) 與 \(b\) 在這個精度下已經完全相同時，再多迭代也無法讓答案更準確，因此程式會提前結束。
正方形和六邊形——哪個比較好？兩者最終都會收斂到相同的數值。六邊形的起始值離 π 更近，所以要達到同樣的精確度，所需的倍增次數會稍微少一些。
