这个计算器能做什么
本工具会针对一串自变量值，批量生成高精度的正弦积分 \(\operatorname{Si}(x)\) 与余弦积分 \(\operatorname{Ci}(x)\) 数值表。你只需设定一个起始值、一个步长（增量）以及要计算的点数，工具就会逐行列出每个 \(x\) 对应的 \(\operatorname{Si}(x)\) 与 \(\operatorname{Ci}(x)\)。它们都是纯数学中的标准特殊函数——不涉及任何与地区相关的规则，在世界各地的计算结果完全一致。自变量 \(x\) 是一个无量纲实数，积分内部的正弦、余弦函数均以弧度为单位。
公式详解
正弦积分定义为 \(\operatorname{Si}(x)\) = \(\sin(t)/t\) 从 0 到 \(x\) 的定积分。由于 \(\sin(t)/t\) 在 \(t = 0\) 处只是可去奇点（该处极限为 1），因此 \(\operatorname{Si}(0) = 0\)；\(\operatorname{Si}\) 是一个奇的整函数：\(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)，且 \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\)。余弦积分定义为 \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \) \((\cos(t)-1)/t\) 从 0 到 \(x\) 的定积分，其中 \(\gamma \approx 0.5772156649\) 为欧拉–马歇罗尼常数。\(\operatorname{Ci}(x)\) 仅在 \(x > 0\) 时取实值；当 \(x \le 0\) 时记为未定义（以短横线显示）。两个函数均采用各自收敛的幂级数求值，逐项累加直到新增项小于机器精度为止。
$$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x &= \text{Start } x + i \cdot \text{Step}, \quad i = 0,1,\dots,\text{Points}-1 \\ \gamma &\approx 0.5772156649 \end{aligned} \right.$$
使用方法
填入 x 的初始值、增量（步长） 以及 迭代次数。数值表各行对应 \(x_i = \text{起始值} + i \cdot \text{步长}\)，其中 \(i = 0, 1, \dots, \text{点数}-1\)。例如：起始值 0、步长 0.2、点数 51，则 \(x\) 会从 0 一直覆盖到 10。
实例演算
取起始值 = 0、步长 = 0.2、点数 = 6，则自变量依次为 0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0。代入级数可得 \(\operatorname{Si}(1.0) = 1 - 1/18 + 1/600 - \dots \approx 0.9460831\)，\(\operatorname{Ci}(1.0) = \gamma + 0 + (-0.25 + 0.0104167 - \dots) \approx 0.3374039\)。第一行显示 \(\operatorname{Si}(0) = 0\)，而 \(\operatorname{Ci}(0)\) 为未定义（短横线），因为当 \(x \to 0^+\) 时 \(\operatorname{Ci}\) 会发散至 \(-\infty\)。
常见问题
为什么 \(x = 0\) 或 \(x\) 为负数时 Ci 是空白？ \(\operatorname{Ci}(x)\) 中含有 \(\ln(x)\)，当 \(x \le 0\) 时它不取实值；并且当 \(x \to 0^+\) 时 \(\operatorname{Ci}(x) \to -\infty\)，因此这些行被标记为未定义。
Si 对负数 \(x\) 有定义吗？ 有——\(\operatorname{Si}\) 对所有实数 \(x\) 都有定义，而且它是奇函数，即 \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)。
Si 的极限值是多少？ 当 \(x \to \infty\) 时，\(\operatorname{Si}(x) \to \pi/2 \approx 1.5707963\)。
