什么是余弦积分 Ci(x)？
余弦积分通常记作 \(\operatorname{Ci}(x)\)，是一类在物理学、信号处理和电磁学中频繁出现的特殊函数，尤其常见于天线理论以及振荡积分的分析当中。对于正实数自变量 \(x\)，它的定义为 \((\cos t - 1)/t\) 从 0 到 \(x\) 的积分，再加上 \(x\) 的自然对数与欧拉-马歇罗尼常数 gamma（约等于 0.5772156649）。本计算器可对任意实数输入，给出完整双精度的 \(\operatorname{Ci}(x)\) 结果。
如何使用本计算器
在输入框中填入 \(x\) 的数值并提交即可。计算结果是 \(\operatorname{Ci}(x)\) 的无量纲值。在实值主定义下，函数的定义域为 \(x\) 大于 0。当 \(x = 0\) 时函数发散至负无穷（这是一个对数奇点），因此计算器会将其标记为未定义。对于负数输入，计算器返回 \(\operatorname{Ci}(|x|)\)，因为 \(\operatorname{Ci}(-x)\) 的实部等于 \(\operatorname{Ci}(x)\)；其中 \(\pm i\pi\) 的虚部会被省略。
公式解析
其定义关系式为 $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$将被积函数展开为泰勒级数后逐项积分，便得到收敛级数 $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} - \frac{x^6}{6\cdot 6!} + \cdots$$当 \(x\) 较小或适中时（这里指 \(|x|\) 不超过 6），该级数收敛迅速且精度很高。对于较大的 \(x\)，计算器会切换到渐近表示 \(\operatorname{Ci}(x) = f(x)\sin(x) - g(x)\cos(x)\)，从而避免级数在大自变量处出现的灾难性抵消误差。随着 \(x\) 增大，\(\operatorname{Ci}(x)\) 会一边像 \(\sin(x)/x\) 那样振荡，一边逐渐衰减趋向于零。
计算示例
取 \(x = 1\)：\(\ln(1) = 0\)，级数给出 $$-0.25 + 0.0104166667 - 0.0002314815 + 0.0000031002 - \cdots \approx -0.2398117421$$再加上 \(\gamma = 0.5772156649\)，得到 \(\operatorname{Ci}(1) = 0.3374039229\)，这与余弦积分在 1 处的已知参考值完全吻合。
常见问题
为什么 Ci(0) 是未定义的？因为当 \(x\) 趋近于 0 时 \(\ln(x)\) 趋向负无穷，函数在该处存在对数奇点。
负数 x 怎么办？对于负自变量，\(\operatorname{Ci}\) 是复数。本实值计算器返回的是实部 \(\operatorname{Ci}(|x|)\)，并舍去虚部。
结果的精度如何？在常见输入范围内，结果可达到约机器双精度（大约 15 位有效数字）。
