餘弦積分 Ci(x) 計算器

計算方法	Power series (\|x\| ≤ 6) / asymptotic expansion (\|x\| > 6)
尤拉—馬斯刻若尼常數	0.5772156649015329

什麼是餘弦積分 Ci(x)？

餘弦積分（記作 $\operatorname{Ci}(x)$）是一個特殊函數，廣泛出現在物理學、訊號處理與電磁學領域，尤其常見於天線理論以及振盪型積分的分析中。對於正實數 $x$，它的定義為：將 $(\cos t - 1)/t$ 從 0 積分到 $x$，再加上 $x$ 的自然對數，以及尤拉—馬斯刻若尼常數 $\gamma$（約等於 0.5772156649）。本計算器能針對任意實數輸入，以完整的雙精度求出 $\operatorname{Ci}(x)$ 的值。

餘弦積分 Ci(x) 振盪並衰減趨近於零的圖形 — 餘弦積分 Ci(x) 以漸減的振幅振盪，當 x 很大時趨於零。

如何使用本計算器

在輸入欄位中填入 $x$ 的值，然後送出即可。計算結果為 $\operatorname{Ci}(x)$ 的無因次數值。實數主值定義的定義域為 $x$ 大於 0。當 $x = 0$ 時，函數會發散至負無窮大（對數奇異點），因此計算器會將其標示為未定義。對於負數輸入，計算器會回傳 $\operatorname{Ci}(|x|)$，因為 $\operatorname{Ci}(-x)$ 的實部等於 $\operatorname{Ci}(x)$；而 $\pm i\pi$ 的虛部則予以省略。

公式說明

其定義關係式為 $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$ 將被積函數展開成泰勒級數並逐項積分，可得到收斂級數：$$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln|x| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\,|x|^{2k}}{2k\,(2k)!}$$ 對於較小到中等大小的 $x$（此處為 $|x|$ 不超過 6），這個級數收斂得既快速又準確。當 $x$ 較大時，計算器會改用漸近表示式 $\operatorname{Ci}(x) = f(x)\cdot\sin(x) - g(x)\cdot\cos(x)$，以避免級數在大引數時出現的災難性抵消（catastrophic cancellation）。隨著 $x$ 增大，$\operatorname{Ci}(x)$ 會像 $\sin(x)/x$ 一樣振盪，並逐漸衰減趨近於零。

從 0 到 x 餘弦積分被積函數下方的陰影區域 — 積分項累積從 0 到 x 的 (cos t − 1)/t 的帶符號面積。

實例演算

以 $x = 1$ 為例：$\ln(1) = 0$，而級數計算結果為 $$-0.25 + 0.0104166667 - 0.0002314815 + 0.0000031002 - \cdots \approx -0.2398117421$$ 再加上 $\gamma = 0.5772156649$，即得 $\operatorname{Ci}(1) = 0.3374039229$，這與餘弦積分在 $x = 1$ 時已知的參考值相符。