這個計算器的功能
本工具可針對一連串的引數，產生高精度的正弦積分 \(\operatorname{Si}(x)\) 與餘弦積分 \(\operatorname{Ci}(x)\) 數值表。你只要設定起始值、間距（增量）以及要計算的點數，工具就會逐列列出每個 \(x\) 所對應的 \(\operatorname{Si}(x)\) 與 \(\operatorname{Ci}(x)\)。這兩者都是純數學中的標準特殊函數——在世界各地的計算結果完全一致，不涉及任何地區性規則。引數 \(x\) 是一個無因次的實數，而積分式內部的正弦與餘弦函數，是以弧度（radian）來解讀的。
公式說明
正弦積分的定義為 \(\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt\)。由於 \(\sin(t)/t\) 在 \(t = 0\) 處屬於可去奇點（其極限值為 1），因此 \(\operatorname{Si}(0) = 0\)；Si 是一個奇的整函數（entire function）：\(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)，且 \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\)。餘弦積分為 \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\,dt\)，其中 \(\gamma \approx 0.5772156649\) 為歐拉–馬斯刻若尼常數（Euler–Mascheroni constant）。\(\operatorname{Ci}(x)\) 僅在 \(x > 0\) 時為實數；當 \(x \le 0\) 時則視為未定義（以破折號表示）。我們以收斂的冪級數來計算這兩個函數，持續累加項次，直到後續項小於機器精度為止。
$$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$
使用方式
輸入 x 的起始值、增量，以及 迭代次數（點數）。表格各列的引數為 \(x_i = \text{起始值} + i \cdot \text{間距}\)，其中 \(i = 0, 1, \ldots, \text{點數}-1\)。舉例來說，起始值 0、間距 0.2、點數 51，\(x\) 的範圍即從 0 到 10。
實例演算
當起始值 = 0、間距 = 0.2、點數 = 6 時，引數依序為 0、0.2、0.4、0.6、0.8、1.0。代入級數可得 $$\operatorname{Si}(1.0) = 1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \cdots \approx 0.9460831,$$ 以及 $$\operatorname{Ci}(1.0) = \gamma + 0 + (-0.25 + 0.0104167 - \cdots) \approx 0.3374039.$$ 第一列顯示 \(\operatorname{Si}(0) = 0\)，而 \(\operatorname{Ci}(0)\) 則為未定義（以破折號表示），因為當 \(x \to 0^+\) 時，Ci 會發散至 \(-\infty\)。
常見問題
為什麼 x = 0 或 x 為負時，Ci 會留空？ \(\operatorname{Ci}(x)\) 含有 \(\ln(x)\) 一項，當 \(x \le 0\) 時並非實數；而且當 \(x \to 0^+\) 時 \(\operatorname{Ci}(x) \to -\infty\)，因此我們將這些列標示為未定義。
Si 對負的 x 有定義嗎？ 有——Si 對所有實數 \(x\) 都有定義，且為奇函數，因此 \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)。
Si 的極限值是多少？ 當 \(x \to \infty\) 時，\(\operatorname{Si}(x) \to \pi/2 \approx 1.5707963\)。
