什麼是菲涅耳餘弦積分？
菲涅耳餘弦積分 \(C(x)\) 是一個特殊函數，定義為 \(\cos(\pi t^{2}/2)\) 從 0 到 \(x\) 的積分。它廣泛出現在光學領域（例如直邊近場繞射的光強分布）、波動物理，以及土木工程中。在道路與鐵路設計裡，與之密切相關的克羅梭曲線（clothoid，又稱歐拉螺線）被用來規劃平順的緩和曲線，其曲率會隨弧長線性增加，讓車輛能舒適地由直線過渡到圓弧。
如何使用本計算器
只要在積分上限 \(x\) 欄位輸入任意實數（正數、負數或零），計算器就會回傳對應的 \(C(x)\)。由於 \(x\) 本身是純數值，所得結果並無單位（無因次）。當 \(|x|\) 逐漸增大時，\(C(x)\) 會持續振盪並收斂：\(x\) 趨向正無限大時收斂至 \(+0.5\)，\(x\) 趨向負無限大時則收斂至 \(-0.5\)。
公式與慣例
本工具採用正規化（normalized）慣例，也就是在餘弦函數內加入 \(\pi/2\) 因子：
$$C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$這與未正規化形式 \(\int\cos(t^{2})\) 並不相同，使用時務必留意。由於此積分沒有封閉解，數值是透過複合辛普森法（composite Simpson's rule）求得，並採用隨 \(x\) 變化的細密網格，子區間數為 \(n = \max(1000, \lceil 200\cdot|x|\rceil)\)；當 \(|x|\) 非常大時，則改用漸近展開式，以避免對數量龐大的振盪進行積分。
計算範例
當 \(x = 1\) 時，
$$C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$數值積分得到的標準值約為 \(C(1) \approx 0.7798934004\)。當 \(x = 0.5\) 時，\(C(0.5) \approx 0.4923442275\)。而當 \(x = 0\) 時，\(C(0) = 0\)（恰好為零）。
常見問題
\(C(x)\) 是奇函數還是偶函數？它是奇函數：\(C(-x) = -C(x)\)，因此輸入負值時，會得到 \(C(|x|)\) 的負對稱結果。
在無限大處的極限為何？當 \(x\) 趨向正方向時，\(C(x)\) 趨近 \(+1/2\)；當 \(x\) 趨向負方向時，則趨近 \(-1/2\)。
計算結果有多精確？採用雙精度的辛普森法，對一般輸入大約可提供 10 位可靠的有效數字；若要得到真正 50 位的精度，則需動用任意精度（arbitrary-precision）運算。
