什么是菲涅尔余弦积分？
菲涅尔余弦积分 \(C(x)\) 是一个特殊函数，定义为 \(\cos(\pi t^2/2)\) 从 0 到 \(x\) 的积分。它在光学（直边近场衍射的光强分布）、波动物理以及土木工程中随处可见。在道路与铁路设计中，与之密切相关的回旋曲线（也称欧拉螺线、缓和曲线）正是利用这一函数来构造曲率随弧长线性增长的平顺过渡曲线。
如何使用本计算器
在输入框中填入积分上限 \(x\)（可以是正数、负数或零），计算器即可返回 \(C(x)\) 的数值。由于 \(x\) 本身是纯数，因此结果是无量纲的。当 \(|x|\) 不断增大时，\(C(x)\) 会在某个值附近振荡并最终收敛：当 \(x\) 趋于正无穷时趋近于 \(+0.5\)，当 \(x\) 趋于负无穷时趋近于 \(-0.5\)。
公式与约定
本工具采用归一化约定，即在余弦函数内引入 \(\pi/2\) 因子：
$$C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$这与未归一化的形式 \(\int \cos(t^2)\) 有所不同。由于该积分没有初等闭式解，数值结果通过复合辛普森（Simpson）法则求得，并采用随 \(x\) 变化的精细网格，子区间数为 \(n = \max(1000, \lceil 200\cdot|x| \rceil)\)；对于 \(|x|\) 非常大的情形，则改用渐近展开，以避免对成百上千次振荡进行积分。
计算实例
当 \(x = 1\) 时， $$C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$ 数值积分给出标准值 \(C(1) \approx 0.7798934004\)。当 \(x = 0.5\) 时，\(C(0.5) \approx 0.4923442275\)。当 \(x = 0\) 时，\(C(0) = 0\)（精确值）。
常见问题
\(C(x)\) 是奇函数还是偶函数？ 它是奇函数：\(C(-x) = -C(x)\)，因此输入负数会返回 \(C(|x|)\) 的相反数。
在无穷处的极限是多少？ 当 \(x\) 趋于正无穷时 \(C(x)\) 趋近于 \(+1/2\)，趋于负无穷时趋近于 \(-1/2\)。
计算结果有多精确？ 双精度辛普森方案对一般输入可提供大约 10 位可靠的有效数字；若要得到真正 50 位的精度，则需要使用任意精度运算。
