什么是菲涅尔积分？
菲涅尔积分 \(S(x)\) 与 \(C(x)\) 是一类特殊函数，广泛出现在光学（边缘与孔径的近场衍射）、电磁学，以及公路、铁路缓和曲线的设计中。若以 \(C(x)\) 为横轴、\(S(x)\) 为纵轴作图，便会勾勒出优美的科纽螺线（又称欧拉螺线）。本计算器可对任意实数自变量 \(x\) 同时求出这两个积分。
公式与约定
本工具默认采用最常用的归一化（π/2）约定：
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$另有非归一化选项，此时被积函数中的 \(\frac{\pi}{2}t^{2}\) 直接替换为 \(t^{2}\)。两个函数都是奇函数：\(S(-x) = -S(x)\)，\(C(-x) = -C(x)\)。当 \(x\) 趋于 \(+\infty\) 时，\(S\) 与 \(C\) 都趋近于 \(1/2\)。
使用方法
输入 \(x\) 的取值，选择约定方式，即可读出保留多位有效数字的 \(S(x)\) 与 \(C(x)\)。当 \(x = 0\) 时，两个积分都恰好为 \(0\)。对于负的自变量，计算器会自动利用奇函数性质处理。
计算原理
由于不存在初等的封闭表达式，计算器在区间 \([0, |x|]\) 上采用复合辛普森（Simpson）法则，并使用细密的网格（至少 1000 个子区间，并随 \(|x|\) 增大而加密，以跟踪愈发剧烈的振荡）。\(x\) 的正负号在最后施加，因为被积函数为奇函数。对于中等大小的 \(|x|\)，该方法可将结果再现到约六位小数，与公开参考值一致。
计算实例
取 \(x = 1\)，采用归一化约定：\(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt \approx 0.7798934\)，\(S(1) \approx 0.4382591\)。当 \(x = 2\) 时，\(C(2) \approx 0.488253\)，\(S(2) \approx 0.343416\)。
常见问题
我该选用哪种约定？大多数物理与工程教材（以及衍射数据表）使用归一化的 \(\pi/2\) 形式，这也是本计算器的默认选项。
什么是科纽螺线？它是由 \((C(x), S(x))\) 描出的参数曲线；当 \(x\) 不断增大时，曲线会盘旋逼近 \((1/2, 1/2)\) 与 \((-1/2, -1/2)\) 两点。
结果精度如何？在所选网格下，辛普森法则在 \(|x|\) 不超过约 6 时，通常能与参考数据表吻合到约六位小数。
