Tích phân Fresnel là gì?
Tích phân Fresnel \(S(x)\) và \(C(x)\) là các hàm đặc biệt xuất hiện rộng rãi trong quang học (hiện tượng nhiễu xạ trường gần tại các cạnh và khe hở), điện từ học, cũng như trong thiết kế đường cong chuyển tiếp cho đường cao tốc và đường sắt. Khi vẽ \(C(x)\) trên trục hoành và \(S(x)\) trên trục tung, ta thu được đường xoắn ốc Cornu (Euler) thanh thoát đặc trưng. Công cụ này tính cả hai tích phân cho mọi đối số thực \(x\).
Công thức và các quy ước
Máy tính này mặc định dùng quy ước chuẩn hóa (pi/2), dạng được sử dụng phổ biến nhất:
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$
Bên cạnh đó còn có lựa chọn không chuẩn hóa, thay biểu thức \(\frac{\pi}{2}t^{2}\) trong hàm dưới dấu tích phân bằng đơn giản là \(t^{2}\). Cả hai hàm đều là hàm lẻ: \(S(-x) = -S(x)\) và \(C(-x) = -C(x)\). Khi \(x\) tiến tới \(+\infty\), cả \(S\) và \(C\) đều tiến về \(\tfrac{1}{2}\).
Cách sử dụng
Nhập giá trị \(x\) của bạn, chọn quy ước, rồi đọc kết quả \(S(x)\) và \(C(x)\) với độ chính xác đến nhiều chữ số có nghĩa. Tại \(x = 0\), cả hai tích phân đều bằng đúng 0. Với đối số âm, công cụ tự động áp dụng tính chất hàm lẻ.
Cách tính toán
Vì không tồn tại dạng đóng sơ cấp, máy tính sử dụng quy tắc Simpson tổng hợp trên đoạn \([0, |x|]\) với lưới chia rất mịn (ít nhất 1000 đoạn con, tăng tỷ lệ theo \(|x|\) để bám sát dao động ngày càng nhanh). Dấu của \(x\) được áp dụng sau cùng do hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ. Cách làm này tái tạo các giá trị tham chiếu đã công bố với độ chính xác khoảng sáu chữ số thập phân khi \(|x|\) ở mức vừa phải.
Ví dụ minh họa
Với \(x = 1\) theo quy ước chuẩn hóa: \(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt \approx 0{,}7798934\), còn \(S(1) \approx 0{,}4382591\). Với \(x = 2\), \(C(2) \approx 0{,}488253\) và \(S(2) \approx 0{,}343416\).
Câu hỏi thường gặp
Nên chọn quy ước nào? Hầu hết các tài liệu vật lý và kỹ thuật (cùng các bảng tra nhiễu xạ) đều dùng dạng chuẩn hóa \(\frac{\pi}{2}\), và đây cũng là tùy chọn mặc định ở công cụ này.
Xoắn ốc Cornu là gì? Đó là đường cong tham số \((C(x), S(x))\); khi \(x\) càng lớn, đường cong này xoắn dần về các điểm \((\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})\) và \((-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2})\).
Kết quả chính xác đến đâu? Với lưới chia đã chọn, quy tắc Simpson thường khớp với các bảng tham chiếu đến khoảng sáu chữ số thập phân khi \(|x|\) lên tới khoảng 6.
