Công cụ này làm gì
Công cụ này lập một bảng gồm hai tích phân elliptic đầy đủ: K(k) – loại một, và E(k) – loại hai, được tính trên một dãy giá trị mô-đun k. Bạn chỉ cần nhập giá trị khởi đầu, độ lớn bước nhảy và số hàng mong muốn; công cụ sẽ tăng dần k từ giá trị ban đầu, cộng thêm bước nhảy sau mỗi hàng, rồi trả về K(k) và E(k) cho từng hàng. Đây là toán học thuần túy (hàm đặc biệt), nên kết quả hoàn toàn giống nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Hãy nhập giá trị k ban đầu (mô-đun, một tỉ số thuần với điều kiện \(-1 \le k \le 1\)), bước nhảy được cộng vào k sau mỗi hàng (có thể là số âm), và số lần lặp (số hàng, là một số nguyên \(\ge 1\)). Ví dụ: với giá trị ban đầu 0, bước nhảy 0,02 và 51 hàng, k sẽ quét từ 0,00 đến 1,00. Vì các tích phân chỉ phụ thuộc vào k bình phương, nên giá trị k âm cho ra cùng kết quả với k dương tương ứng.
Giải thích công thức
Đối số ở đây là mô-đun k, chứ không phải tham số \(m = k^2\). Ở dạng tích phân, K(k) là tích phân từ 0 đến pi/2 của \(d\theta / \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\), còn E(k) là tích phân của \(\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\, d\theta\) trên cùng khoảng đó:
$$K(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}}, \qquad E(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}\; d\theta$$Chúng tôi tính bằng phương pháp Trung bình Số học – Hình học (AGM) vốn nhanh và có độ chính xác cao: \(K(k) = \pi / (2 \cdot \text{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2}))\). Đối với E, ta cộng dồn các số hạng c của AGM: \(E(k) = K(k) \cdot (1 - \sum 2^{n-1} c_n^2)\) với \(c_0^2 = k^2\).
Ví dụ minh họa
Với \(k = 0{,}5\): \(1 - k^2 = 0{,}75\), \(\sqrt{} = 0{,}8660254\). \(\text{AGM}(1,\ 0{,}8660254) \approx 0{,}9318082\), do đó \(K(0{,}5) = \pi / (2 \cdot 0{,}9318082) = 1{,}6857503548\). Tổng các số hạng c \(\approx 0{,}1339804\), cho ra \(E(0{,}5) = 1{,}6857503548 \cdot (1 - 0{,}1339804) = 1{,}4603362889\).
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi k = 1? K(1) phân kỳ ra vô cực; E(1) = 1 chính xác. Tại hàng biên này, bảng sẽ hiển thị "Vô cực" cho K và 1 cho E thay vì báo lỗi.
Công cụ dùng k hay m? Công cụ dùng mô-đun k. Nếu bạn có tham số m, hãy lấy căn bậc hai (\(k = \sqrt{m}\)) trước khi nhập.
Nếu |k| > 1 thì sao? Giá trị đó nằm ngoài miền thực \(-1 \le k \le 1\); những hàng như vậy sẽ được đánh dấu là ngoài miền xác định.
