ماذا تفعل هذه الحاسبة
تبني هذه الأداة جدولاً لنوعَي التكاملات الإهليلجية التامة: \(K(k)\) من النوع الأول، و \(E(k)\) من النوع الثاني، محسوبَين عبر سلسلة من قيم المعامل \(k\). كل ما عليك إدخاله هو قيمة بداية ومقدار خطوة وعدد الصفوف المطلوبة؛ وتنطلق الحاسبة بقيمة \(k\) من القيمة الأولية مضيفةً مقدار الخطوة في كل صف، ثم تعرض \(K(k)\) و \(E(k)\) لكل صف. هذا حساب رياضي بحت (دوال خاصة) وينطبق بالقدر نفسه في كل مكان.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة k الأولية (المعامل، وهو نسبة صرفة تحقق \(-1 \le k \le 1\))، ومقدار الزيادة الذي يُضاف إلى \(k\) في كل صف (ويمكن أن يكون سالباً)، وعدد التكرارات (الصفوف، عدد صحيح \(\ge 1\)). على سبيل المثال: قيمة أولية 0، وخطوة 0.02، و51 صفاً، تمسح قيم \(k\) من 0.00 إلى 1.00. وبما أن التكاملَين يعتمدان على مربع \(k\) فقط، فإن القيم السالبة لـ \(k\) تعطي النتائج نفسها التي تعطيها القيم الموجبة.
شرح الصيغة
الوسيط المستخدَم هنا هو المعامل k، وليس الـبارامتر \(m = k^2\). في الصورة التكاملية، يُعرَّف \(K(k)\) بأنه التكامل من 0 إلى \(\pi/2\) للمقدار \(d\theta / \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\)، أما \(E(k)\) فهو تكامل المقدار \(\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta\) على المجال نفسه. ونحسبهما بطريقة المتوسط الحسابي–الهندسي (AGM) السريعة وعالية الدقة: $$K(k) = \frac{\pi}{2 \cdot \text{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2})}.$$ أما \(E\) فنجمع حدود \(c\) الناتجة عن AGM: $$E(k) = K(k) \cdot \left(1 - \sum 2^{n-1} c_n^2\right)$$ حيث \(c_0^2 = k^2\).
مثال محلول
عند \(k = 0.5\): نجد أن \(1 - k^2 = 0.75\)، وجذره \(\sqrt{} = 0.8660254\). ويكون \(\text{AGM}(1, 0.8660254) \approx 0.9318082\)، إذن $$K(0.5) = \frac{\pi}{2 \cdot 0.9318082} = 1.6857503548.$$ ومجموع حدود \(c \approx 0.1339804\)، ومنه $$E(0.5) = 1.6857503548 \cdot (1 - 0.1339804) = 1.4603362889.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عند \(k = 1\)؟ يتباعد \(K(1)\) إلى ما لا نهاية، بينما \(E(1) = 1\) بالضبط. ويعرض الجدول عند هذا الحدّ القيمة "ما لا نهاية" لـ \(K\) والقيمة 1 لـ \(E\) بدلاً من أن يتوقف عن العمل.
هل تعتمد الحاسبة على \(k\) أم على \(m\)؟ تعتمد على المعامل \(k\). فإن كانت لديك قيمة الـبارامتر \(m\)، خذ جذرها التربيعي (\(k = \sqrt{m}\)) قبل الإدخال.
ماذا عن الحالة \(|k| > 1\)؟ هذه خارج المجال الحقيقي \(-1 \le k \le 1\)، ويُشار إلى هذه الصفوف على أنها خارج المجال.
