ماذا تفعل هذه الحاسبة
صيغة دور البندول البسيط المألوفة، \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\)، ليست سوى تقريب لا يصحّ إلا عند الاهتزازات الصغيرة جدًا. أما عند زوايا الإطلاق الكبيرة فإن البندول الحقيقي يهتزّ بوتيرة أبطأ. تحسب هذه الأداة الدور الدقيق باستخدام التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول، وتعرضه في جدول إلى جانب قيمة الزاوية الصغيرة والنسبة بينهما عبر مدى من زوايا السعة.
طريقة الاستخدام
أدخل طول الخيط l بالمتر وتسارع الجاذبية g بوحدة م/ث² (القيمة الافتراضية 9.80665 هي الجاذبية القياسية). اختر خطوة سعة قدرها 5° أو 10°. تُظهر النتيجة دور الزاوية الصغيرة الثابت \(T_0\) كقيمة رئيسية، ثم صفًّا لكل زاوية سعة \(\alpha\) بدءًا من قيمة الخطوة وحتى ما دون 180° بقليل، مع الدور الدقيق T والنسبة \(T/T_0\).
شرح المعادلة
الدور الدقيق هو $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$ حيث \(k = \sin(\alpha/2)\) هو المعامل الإهليلجي، و $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}.$$ نحسب K بطريقة المتوسط الحسابي–الهندسي (AGM) السريعة والدقيقة: نبدأ بـ \(a_0=1\) و \(b_0=\cos(\alpha/2)\)، ثم نكرر \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) و \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) حتى يتقاربا، فيصبح \(K = \pi/(2a_\infty)\). وتتبسّط النسبة إلى \((2/\pi)K(\sin(\alpha/2))\)، وقيمتها 1 عند السعة الصفرية وتتباعد نحو اللانهاية كلما اقتربت \(\alpha\) من 180°.
مثال محلول
عند \(l = 1\) م و \(g = 9.80665\) م/ث²: نجد \(\sqrt{l/g} = 0.319330\) ث، ومن ثم \(T_0 = 2.006419\) ث. وعند \(\alpha = 30°\) يكون \(k = \sin 15° = 0.258819\) و \(K = 1.598142\)، فينتج \(T = 2.041253\) ث ونسبة 1.017362 — أي أطول بنحو 1.74% من تقدير الزاوية الصغيرة، وهو ما يتطابق مع تصحيح الكتب المدرسية \(1 + \alpha^2/16\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يزداد الدور مع زيادة السعة؟ عزم الإرجاع يتناسب مع \(\sin\theta\) وليس مع \(\theta\)؛ ففي الاهتزازات الأكبر يكون \(\sin\theta < \theta\)، أي إن قوة الإرجاع الفعّالة أضعف، فيستغرق كل شوط زمنًا أطول.
لماذا يتوقّف الجدول قبل 180°؟ عند 180° بالضبط ينطلق البندول من نقطة الاتزان المقلوبة غير المستقرة، فيصبح \(k = 1\) ويتباعد K نحو اللانهاية، فيغدو الدور غير محدود. لذلك يتوقّف الجدول قبيل 180° مباشرةً.
هل طريقة AGM دقيقة؟ إنها تتقارب تقاربًا تربيعيًا حتى دقة الآلة في أقل من عشر تكرارات، فتكون القيم المجدولة دقيقة إلى حدّ الأرقام المعروضة — وهذا أفضل بكثير من اقتطاع متسلسلة القوى.
