Công cụ này làm gì
Công thức chu kỳ con lắc đơn quen thuộc \(T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}\) thực ra chỉ là công thức xấp xỉ, chỉ đúng khi góc dao động rất nhỏ. Với những góc thả lớn hơn, con lắc thật sẽ dao động chậm hơn. Công cụ này tính chu kỳ chính xác bằng tích phân elliptic đầy đủ loại một, rồi lập bảng so sánh trực tiếp với giá trị tính theo công thức góc nhỏ cùng tỷ số giữa hai giá trị, trải dài qua nhiều biên độ góc khác nhau.
Cách sử dụng
Nhập chiều dài dây l (đơn vị mét) và gia tốc trọng trường g (đơn vị m/s²) — giá trị mặc định 9,80665 là gia tốc trọng trường tiêu chuẩn. Chọn bước biên độ là 5° hoặc 10°. Kết quả sẽ hiển thị chu kỳ góc nhỏ \(T_0\) không đổi ở phần đầu, sau đó là từng dòng ứng với mỗi biên độ \(\alpha\) (tăng dần từ bước đã chọn cho đến ngay dưới 180°), kèm theo chu kỳ chính xác \(T\) và tỷ số \(T/T_0\).
Giải thích công thức
Chu kỳ chính xác là $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k),$$ trong đó \(k = \sin(\alpha/2)\) là môđun elliptic và $$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}.$$ Chúng tôi tính \(K\) bằng phương pháp trung bình cộng–nhân (AGM) vừa nhanh vừa chính xác: bắt đầu với \(a_0=1\), \(b_0=\cos(\alpha/2)\), lặp \(a_{n+1}=(a_n+b_n)/2\) và \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) cho đến khi hai dãy hội tụ, rồi tính \(K = \pi/(2a_\infty)\). Tỷ số rút gọn thành \(\frac{2}{\pi}K(\sin(\alpha/2))\), bằng 1 khi biên độ bằng 0 và phân kỳ khi \(\alpha\) tiến tới 180°.
Ví dụ minh họa
Với \(l = 1\) m và \(g = 9{,}80665\) m/s²: \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\) s, nên \(T_0 = 2{,}006419\) s. Tại \(\alpha = 30°\), ta có \(k = \sin 15° = 0{,}258819\), \(K = 1{,}598142\), suy ra \(T = 2{,}041253\) s và tỷ số \(1{,}017362\) — tức dài hơn khoảng 1,74% so với giá trị ước tính theo góc nhỏ, đúng khớp với số hiệu chỉnh \(1 + \alpha^2/16\) trong sách giáo khoa.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao chu kỳ tăng theo biên độ? Momen lực kéo về tỷ lệ với \(\sin\theta\), chứ không phải với \(\theta\); với góc dao động lớn, \(\sin\theta < \theta\) nên lực kéo về hiệu dụng yếu hơn, khiến mỗi chu kỳ kéo dài hơn.
Vì sao bảng dừng lại trước 180°? Đúng tại 180°, con lắc bắt đầu ở vị trí lật ngược không ổn định, \(k = 1\) và \(K\) phân kỳ ra vô cực, nên chu kỳ không bị giới hạn. Vì vậy bảng kết thúc ngay dưới mốc 180°.
Phương pháp AGM có chính xác không? AGM hội tụ bậc hai tới độ chính xác của máy chỉ trong chưa đầy mười vòng lặp, nên các giá trị trong bảng chính xác đến tận chữ số được hiển thị — tốt hơn nhiều so với việc cắt cụt chuỗi lũy thừa.
