Công cụ này làm gì
Công cụ này tính chu kỳ dao động chính xác của một con lắc đơn lý tưởng (một chất điểm gắn vào sợi dây không khối lượng, không dãn) ở mọi biên độ thả lên đến 180 độ. Công thức quen thuộc trong sách giáo khoa \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) chỉ là phép xấp xỉ cho góc nhỏ; nó sai lệch rõ rệt khi biên độ dao động lớn dần. Ở đây chúng tôi dùng nghiệm phi tuyến đầy đủ dựa trên tích phân elliptic đầy đủ loại một, nhờ vậy kết quả vẫn chính xác ngay cả với những dao động biên độ lớn.
Cách sử dụng
Nhập ba giá trị: góc thả α tính bằng độ (góc lệch lớn nhất so với phương thẳng đứng tại đó vật nặng được thả không vận tốc đầu), chiều dài dây l tính bằng mét, và gia tốc trọng trường g tính bằng m/s² (mặc định 9,80665, là giá trị trọng lực chuẩn). Nhấn nút tính để nhận chu kỳ T tính bằng giây cho một chu trình đi-về hoàn chỉnh. Bảng kết quả còn hiển thị giá trị tích phân elliptic \(K(k)\), môđun \(k\), và chu kỳ theo công thức góc nhỏ để bạn dễ so sánh.
Giải thích công thức
Chu kỳ chính xác là $$T = 4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\;K(k)$$ trong đó \(K\) là tích phân elliptic đầy đủ loại một với môđun \(k = \sin(\alpha/2)\). Chúng tôi tính \(K(k)\) mà không cần bảng tra cứu bằng cách dùng trung bình cộng-nhân (AGM): $$K(k) = \frac{\pi}{2 \cdot \operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})}$$ AGM hội tụ bậc hai, nên chỉ cần 5-8 lần lặp là đạt độ chính xác của máy. Khi \(\alpha \to 0\), ta có \(K \to \pi/2\) và \(T\) quay về dạng cổ điển \(2\pi\sqrt{l/g}\).
Ví dụ minh họa
Với \(\alpha = 30^\circ\), \(l = 1\ \text{m}\), \(g = 9{,}80665\): \(k = \sin(15^\circ) = 0{,}258819\), \(\operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0{,}982889\), nên \(K = 1{,}598142\) và \(\sqrt{l/g} = 0{,}319330\). Do đó $$T = 4 \times 0{,}319330 \times 1{,}598142 \approx \mathbf{2{,}0415\ \text{s}}$$ — dài hơn khoảng 1,76% so với giá trị góc nhỏ là 2,0062 s. Ở \(\alpha = 90^\circ\), chu kỳ tăng lên khoảng 2,3685 s, tức cao hơn xấp xỉ 18% so với ước lượng góc nhỏ.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao chu kỳ lại phụ thuộc vào biên độ? Mômen hồi phục của con lắc tỉ lệ với \(\sin\theta\), chứ không phải \(\theta\). Chỉ khi góc nhỏ thì \(\sin\theta \approx \theta\), cho ra dao động điều hòa với chu kỳ không phụ thuộc biên độ. Với biên độ lớn hơn, chuyển động trở nên phi điều hòa và chậm hơn.
Điều gì xảy ra khi gần 180 độ? Khi \(\alpha\) tiến tới \(180^\circ\), môđun \(k\) tiến tới 1 và \(K(k)\) phân kỳ, nên chu kỳ tiến tới vô hạn — vật nặng nán lại ngày càng lâu gần điểm cao nhất bị lật ngược không ổn định. Các giá trị bằng hoặc lớn hơn \(180^\circ\) được xem là ngoài phạm vi.
Công cụ có tính đến ma sát không? Không. Đây là con lắc lý tưởng không ma sát; lực cản không khí, khối lượng dây và kích thước vật nặng đều được bỏ qua. Con lắc thực mất một chút năng lượng và biên độ sau mỗi chu kỳ.
