这个计算器能做什么
本工具用于计算理想单摆（一根无质量、不可伸长的细绳系着一个质点）在 0 至 180 度之间任意释放摆角下的精确振动周期。教科书里常见的公式 \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) 只是小角度下的近似解；摆幅越大，误差越明显。这里我们采用基于第一类完全椭圆积分的完整非线性结果，即使在大摆角情况下也能给出准确答案。
使用方法
请输入三个数值：以度为单位的释放摆角 \(\alpha\)（摆球从静止释放时偏离竖直方向的最大角度）、以米为单位的绳长 \(l\)，以及以 m/s² 为单位的重力加速度 \(g\)（默认值 9.80665，即标准重力加速度）。点击计算，即可得到完成一个完整来回所需的周期 \(T\)（单位：秒）。结果表中还会同时给出椭圆积分值 \(K(k)\)、模数 \(k\)，以及小角度近似周期，方便对比。
公式详解
精确周期为 $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot K(k)$$ 其中 \(K\) 为第一类完全椭圆积分，模数 \(k = \sin(\alpha/2)\)。我们不依赖查表，而是用算术-几何平均（AGM）来计算 \(K(k)\)：$$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot \operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})}$$ AGM 具有二阶收敛速度，因此 5 至 8 次迭代即可达到机器精度。当 \(\alpha \to 0\) 时，\(K \to \pi/2\)，\(T\) 便退化为经典的 \(2\pi\sqrt{l/g}\)。
计算实例
取 \(\alpha = 30\degree\)、\(l = 1\ \text{m}\)、\(g = 9.80665\)：\(k = \sin(15\degree) = 0.258819\)，\(\operatorname{agm}(1, \cos 15\degree) = 0.982889\)，于是 \(K = 1.598142\)，\(\sqrt{l/g} = 0.319330\)。因此 $$T = 4 \times 0.319330 \times 1.598142 \approx 2.0415 \text{ 秒}$$——比小角度近似值 2.0062 秒约长 1.76%。当 \(\alpha = 90\degree\) 时，周期增大到约 2.3685 秒，比小角度估算值高出约 18%。
常见问题
周期为什么会随摆角变化？单摆的回复力矩与 \(\sin\theta\) 成正比，而非与 \(\theta\) 成正比。只有在小角度时 \(\sin\theta \approx \theta\)，运动才近似为简谐振动，周期才与摆角无关。摆幅较大时，运动变为非简谐，速度也更慢，因而周期更长。
接近 180 度时会发生什么？当 \(\alpha\) 趋近 \(180\degree\) 时，模数 \(k\) 趋近 1，\(K(k)\) 发散，周期因此趋于无穷大——摆球会在不稳定的顶端（倒立位置）附近停留越来越久。等于或超过 \(180\degree\) 的取值被视为超出有效范围。
是否考虑了摩擦？没有。本计算针对的是理想化的无摩擦单摆，忽略了空气阻力、绳的质量以及摆球的体积。现实中的单摆每个周期都会损失少量能量与摆幅。
