ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الزمن الدوري الدقيق للتذبذب لبندول بسيط مثالي (كتلة نقطية معلقة بخيط عديم الكتلة وغير قابل للتمدد) عند أي سعة إطلاق تصل إلى 180 درجة. أما المعادلة المألوفة في الكتب المدرسية \( T = 2\pi\sqrt{l/g} \) فهي مجرد تقريب للزوايا الصغيرة، ويصبح خطؤها ملحوظاً كلما اتسعت أرجحة البندول. أما هنا فنعتمد على النتيجة اللاخطية الكاملة المبنية على التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول، لتبقى النتيجة دقيقة حتى مع الأرجحات الواسعة.
كيفية الاستخدام
أدخل ثلاث قيم: زاوية الإطلاق α بالدرجات (وهي أقصى زاوية عن الوضع الرأسي يُطلق منها الثقل من حالة السكون)، وطول الخيط l بالأمتار، وتسارع الجاذبية g بوحدة م/ث² (القيمة الافتراضية 9.80665، وهي الجاذبية القياسية). اضغط على زر الحساب للحصول على الزمن الدوري T بالثواني لدورة كاملة ذهاباً وإياباً. ويعرض جدول النتائج أيضاً قيمة التكامل الإهليلجي \( K(k) \)، والمقياس \( k \)، وزمن الزاوية الصغيرة للمقارنة.
شرح المعادلة
الزمن الدوري الدقيق هو $$ T = 4\sqrt{\frac{l}{g}} \cdot K(k) $$ حيث \( K \) هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول ذو المقياس \( k = \sin(\alpha/2) \). ونحسب \( K(k) \) دون اللجوء إلى جداول البحث، وذلك باستخدام المتوسط الحسابي-الهندسي (AGM): $$ K(k) = \frac{\pi}{2 \cdot \operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})} $$ يتقارب المتوسط الحسابي-الهندسي تقارباً تربيعياً، لذا تكفي 5 إلى 8 تكرارات للوصول إلى دقة الآلة. وكلما اقتربت α من الصفر، اقترب \( K \) من \( \pi/2 \) واختُزل \( T \) إلى الصيغة الكلاسيكية \( 2\pi\sqrt{l/g} \).
مثال محلول
عند \( \alpha = 30^\circ \) و \( l = 1 \) م و \( g = 9.80665 \): يكون \( k = \sin(15^\circ) = 0.258819 \)، و \( \operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0.982889 \)، ومن ثم \( K = 1.598142 \) و \( \sqrt{l/g} = 0.319330 \). وبذلك يكون $$ T = 4 \times 0.319330 \times 1.598142 \approx 2.0415 \text{ ث} $$ — أي أطول بنحو 1.76% من قيمة الزاوية الصغيرة البالغة 2.0062 ث. وعند \( \alpha = 90^\circ \) يزداد الزمن الدوري إلى نحو 2.3685 ث، أي أعلى بحوالي 18% من تقدير الزاوية الصغيرة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يعتمد الزمن الدوري على السعة؟ عزم الاسترجاع في البندول يتناسب مع \( \sin\theta \) وليس مع \( \theta \). وفقط عند الزوايا الصغيرة يكون \( \sin\theta \approx \theta \)، مما يعطي حركة توافقية بسيطة بزمن دوري مستقل عن السعة. أما عند الأرجحات الأكبر فتصبح الحركة غير توافقية وأبطأ.
ماذا يحدث قرب 180 درجة؟ كلما اقتربت α من \( 180^\circ \)، اقترب المقياس \( k \) من 1 وتباعد \( K(k) \) نحو اللانهاية، فيميل الزمن الدوري إلى ما لا نهاية — إذ يتباطأ الثقل ويبقى مدة أطول فأطول قرب القمة المقلوبة غير المستقرة. وتُعد القيم عند \( 180^\circ \) أو أكثر خارج النطاق المسموح.
هل يأخذ الاحتكاك في الحسبان؟ لا. فهذا بندول مثالي عديم الاحتكاك؛ ويُهمل فيه مقاومة الهواء وكتلة الخيط وحجم الثقل. أما البنادل الحقيقية فتفقد قليلاً من الطاقة والسعة في كل دورة.
