この計算機でできること
このツールは、理想化した単振り子（質量を無視できる伸び縮みしない糸の先に質点をつけたもの）について、180度までの任意の振れ角における正確な振動周期を求めます。教科書でおなじみの式 \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) はあくまで微小角近似であり、振れ幅が大きくなるにつれて無視できない誤差が生じます。本計算機では第一種完全楕円積分に基づく完全な非線形の結果を用いるため、大きな振れ幅でも正確な値が得られます。
使い方
次の3つの値を入力してください。振れ角 α（鉛直方向から測った最大角度。おもりを静かに放す角度。単位は度）、糸の長さ l（メートル）、そして重力加速度 g（m/s²、初期値は標準重力の9.80665）です。「計算」を押すと、1往復にかかる周期 \(T\) が秒単位で表示されます。結果の表には、楕円積分の値 \(K(k)\)、母数 \(k\)、比較用の微小角近似による周期も併せて表示されます。
計算式の解説
厳密な周期は $$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\;K(k)$$ で表されます。ここで \(K\) は母数 \(k = \sin(\alpha/2)\) をもつ第一種完全楕円積分です。本計算機では数表を使わず、算術幾何平均（AGM）によって \(K(k)\) を求めます： $$K(k) = \frac{\pi}{2 \cdot \operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})}$$ AGMは二次収束するため、5〜8回の反復で計算機の精度限界に到達します。\(\alpha \to 0\) のとき \(K \to \pi/2\) となり、\(T\) は古典的な \(2\pi\sqrt{l/g}\) に帰着します。
計算例
\(\alpha = 30°\)、\(l = 1\ \text{m}\)、\(g = 9.80665\) の場合：\(k = \sin(15°) = 0.258819\)、\(\operatorname{agm}(1, \cos 15°) = 0.982889\) より \(K = 1.598142\)、\(\sqrt{l/g} = 0.319330\) となります。したがって $$T = 4 \times 0.319330 \times 1.598142 \approx 2.0415\ \text{秒}$$ となり、微小角近似の値 2.0062 秒よりも約1.76%長くなります。\(\alpha = 90°\) では周期は約 2.3685 秒まで伸び、微小角近似の見積もりよりおよそ18%大きくなります。
よくある質問
なぜ周期は振幅に依存するのですか？ 振り子を元に戻そうとする復元トルクは \(\theta\) ではなく \(\sin\theta\) に比例するためです。微小角のときだけ \(\sin\theta \approx \theta\) が成り立ち、振幅によらず周期が一定の単振動になります。振れ幅が大きくなると運動は非調和的になり、周期は長くなります。
180度に近づくとどうなりますか？ \(\alpha\) が180°に近づくと母数 \(k\) は1に近づき、\(K(k)\) は発散するため、周期は無限大に向かいます。おもりは不安定な真上の位置付近にいつまでも長くとどまるようになります。180°以上の値は範囲外として扱われます。
摩擦は考慮されていますか？ いいえ。これは摩擦のない理想的な振り子です。空気抵抗、糸の質量、おもりの大きさは無視しています。実際の振り子は1往復ごとにわずかにエネルギーと振幅を失います。
