這個計算機的功能
本工具可計算理想單擺（質點懸掛於無質量、不可伸長的細繩上）在 任意 釋放擺角（最大可達 180 度）下的精確振盪週期。課本上常見的公式 \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) 其實只是小角度近似，擺幅一旦變大，誤差就會明顯浮現。這裡採用建立在第一類完全橢圓積分上的完整非線性解，因此即使是大擺角，算出的結果依然準確可靠。
使用方法
請輸入三個數值：以度為單位的釋放擺角 \(\alpha\)（擺錘由靜止釋放時，與鉛直方向所夾的最大角度）、以公尺為單位的繩長 \(l\)，以及以 m/s² 為單位的重力加速度 \(g\)（預設值 9.80665，即標準重力）。按下計算，即可得到一次完整來回擺動的週期 \(T\)（秒）。結果表格還會一併列出橢圓積分值 \(K(k)\)、模數 \(k\)，以及小角度近似週期，方便互相對照。
公式解析
精確週期為
$$T = 4\sqrt{\frac{l}{g}}\;K(k)$$其中 \(K\) 是第一類完全橢圓積分，模數 \(k = \sin(\alpha/2)\)。我們不依賴查表，而是運用算術幾何平均數（AGM）來求 \(K(k)\)：
$$K(k) = \frac{\pi}{2\cdot \operatorname{agm}(1, \sqrt{1-k^2})}$$由於 AGM 具有平方收斂的特性，僅需 5 至 8 次迭代即可達到機器精度。當 \(\alpha \to 0\) 時，\(K \to \pi/2\)，\(T\) 便回歸到經典的 \(2\pi\sqrt{l/g}\)。
實例演算
以 \(\alpha = 30^\circ\)、\(l = 1\ \text{m}\)、\(g = 9.80665\) 為例：\(k = \sin(15^\circ) = 0.258819\)，\(\operatorname{agm}(1, \cos 15^\circ) = 0.982889\)，因此 \(K = 1.598142\)，\(\sqrt{l/g} = 0.319330\)。於是
$$T = 4 \times 0.319330 \times 1.598142 \approx 2.0415\ \text{秒}$$——比小角度近似值 2.0062 秒約長 1.76%。若擺角增至 \(\alpha = 90^\circ\)，週期更會拉長到約 2.3685 秒，比小角度估計值高出約 18%。
常見問題
為什麼週期會隨擺角改變？單擺的回復力矩與 \(\sin\theta\) 成正比，而非與 \(\theta\) 成正比。只有在小角度時 \(\sin\theta \approx \theta\)，才會形成週期與擺幅無關的簡諧運動。擺幅一旦變大，運動就變成非簡諧，速度也隨之變慢。
接近 180 度時會發生什麼事？當 \(\alpha\) 趨近 \(180^\circ\) 時，模數 \(k\) 會趨近於 1，\(K(k)\) 隨之發散，因此週期趨於無限大——擺錘會在不穩定的倒立頂點附近停留得愈來愈久。當數值等於或超過 \(180^\circ\) 時，會被視為超出有效範圍。
有把摩擦力算進去嗎？沒有。這是理想化的無摩擦單擺，忽略了空氣阻力、繩子質量與擺錘體積。實際的單擺每擺一次都會損失些許能量與擺幅。
