這個計算器能做什麼
這個工具可計算一般（三軸）橢球的體積與表面積——橢球是一種由三個半軸 a、b、c 描述、外形圓滑的立體。當三個半軸完全相等時，橢球就退化為球體；若其中兩個相等，則為旋轉橢球（spheroid）。本工具適用於任何正數值，並以一致的單位呈現結果：體積為單位³，表面積為單位²。
使用方式
請輸入三個半軸的長度（即沿各主軸方向全寬的一半），並使用相同的單位——全部用公分、全部用英吋都可以，只要一致即可。輸入順序無關緊要，工具會自動在內部排序。三個數值都必須大於零。按下計算後，即可同時看到體積與表面積兩項結果。
公式解析
體積有簡單的精確公式：$$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$。表面積則困難許多：三軸橢球沒有初等的封閉式面積公式。精確解必須用到第一類不完全橢圓積分 \(F(\phi,k)\) 與第二類不完全橢圓積分 \(E(\phi,k)\)。先將半軸排序為 \(p \ge q \ge r\)，再令 \(\cos\phi = r/p\)、\(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\)，接著計算 $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p q}{\sin\phi}\left(E\cdot\sin^{2}\phi + F\cdot\cos^{2}\phi\right)$$。本計算器以高解析度的複合辛普森（Simpson）積分法求出 \(F\) 與 \(E\)，由於被積函數平滑，收斂速度相當快。
實例演算
以 \(a = 3\)、\(b = 2\)、\(c = 1\) 為例：體積 $$V = \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25.133 \text{ 單位}^{3}$$。排序後得 \(p=3\)、\(q=2\)、\(r=1\)，因此 \(\cos\phi = 1/3\)、\(\phi \approx 1.23096\) 弧度、\(k^{2} = 27/32 = 0.84375\)。經數值計算 \(F \approx 1.54125\)、\(E \approx 1.00526\)，最終得 \(S \approx 48.88 \text{ 單位}^{2}\)。
常見問題
為什麼沒有簡單的面積公式？與體積不同，三軸橢球的表面積分無法用初等函數表示，本質上必須借助橢圓積分。
如果是球體呢？當三個半軸都相等時，工具會直接套用 \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) 與 \(S = 4\pi a^{2}\)。
單位重要嗎？請對三個輸入值使用相同的單位；如此一來，體積會是該單位的立方，面積則為該單位的平方。
