Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el volumen y el área de superficie de un elipsoide general (triaxial): un sólido de contornos suaves y redondeados definido por tres semiejes a, b y c. La esfera es el caso particular en el que los tres semiejes son iguales, y el esferoide es aquel en el que dos coinciden. La calculadora admite cualquier valor positivo y devuelve los resultados en unidades coherentes: el volumen en unidad³ y la superficie en unidad².
Cómo utilizarla
Introduce las longitudes de los tres semiejes (la mitad del ancho total a lo largo de cada eje principal) en una misma unidad: todo en centímetros, todo en pulgadas o la que prefieras. El orden es indiferente, ya que la herramienta ordena los ejes de forma interna. Los tres valores deben ser mayores que cero. Pulsa «calcular» para obtener ambas magnitudes.
Las fórmulas explicadas
El volumen tiene una forma exacta sencilla: $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ El área de superficie resulta mucho más compleja: un elipsoide triaxial no tiene una fórmula cerrada elemental para la superficie. El resultado exacto recurre a las integrales elípticas incompletas de primera especie \(F(\phi,k)\) y de segunda especie \(E(\phi,k)\). Tras ordenar los semiejes de modo que \(p \ge q \ge r\), definimos \(\cos\phi = \tfrac{r}{p}\) y \(k^{2} = \dfrac{p^{2}\,(q^{2}-r^{2})}{q^{2}\,(p^{2}-r^{2})}\), y a continuación evaluamos $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$ Esta calculadora obtiene \(F\) y \(E\) mediante integración numérica de Simpson compuesta de alta resolución, que converge con rapidez porque los integrandos son suaves.
Ejemplo resuelto
Para \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\): volumen $$V = \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25{,}133 \text{ unidad}^{3}$$ Al ordenar obtenemos \(p=3\), \(q=2\), \(r=1\), de modo que \(\cos\phi = \tfrac{1}{3}\), \(\phi \approx 1{,}23096 \text{ rad}\) y \(k^{2} = \tfrac{27}{32} = 0{,}84375\). Numéricamente \(F \approx 1{,}54125\) y \(E \approx 1{,}00526\), lo que da \(S \approx 48{,}88 \text{ unidad}^{2}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué no existe una fórmula sencilla para el área? A diferencia del volumen, la integral de superficie de un elipsoide triaxial no puede expresarse con funciones elementales; requiere de manera inevitable integrales elípticas.
¿Y en el caso de una esfera? Si los tres semiejes son iguales, la herramienta simplifica directamente a \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) y \(S = 4\pi a^{2}\).
¿Importan las unidades? Utiliza la misma unidad para los tres datos de entrada; el volumen saldrá al cubo y el área al cuadrado en esa unidad.
