这个计算器能做什么
本工具用于计算一般（三轴）椭球的体积和表面积。椭球是一种由三个半轴 a、b、c 描述的光滑曲面立体。当三个半轴完全相等时，椭球退化为球体；当其中两个相等时，则为旋转椭球（回转椭球）。工具适用于任意正数取值，并以统一单位输出结果：体积单位为「单位³」，表面积单位为「单位²」。
使用方法
分别输入三个半轴的长度（即沿每个主轴方向全宽的一半），三者须使用相同单位——全部用厘米、全部用英寸，悉听尊便。输入顺序无所谓，工具会在内部自动排序。三个值都必须大于零。点击「计算」即可同时得到体积与表面积。
公式详解
体积有简洁的精确表达式：$$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$。但表面积要棘手得多：三轴椭球的表面积没有初等的封闭表达式，精确解需要借助第一类不完全椭圆积分 \(F(\phi,k)\) 与第二类不完全椭圆积分 \(E(\phi,k)\)。先将三个半轴排序使 \(p \ge q \ge r\)，再令 \(\cos\phi = r/p\)、\(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\)，最后代入 $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$。本计算器采用高精度复合辛普森（Simpson）积分来求解 \(F\) 与 \(E\)。由于被积函数足够光滑，收敛速度非常快。
实例演算
取 \(a = 3\)、\(b = 2\)、\(c = 1\)：体积 $$V = \frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25.133 \text{ 单位}^3$$。排序后得 \(p=3\)、\(q=2\)、\(r=1\)，于是 \(\cos\phi = 1/3\)，\(\phi \approx 1.23096\) 弧度，\(k^{2} = 27/32 = 0.84375\)。数值计算得 \(F \approx 1.54125\)、\(E \approx 1.00526\)，最终表面积 \(S \approx 48.88 \text{ 单位}^2\)。
常见问题
为什么没有简单的表面积公式？与体积不同，三轴椭球的表面积积分无法用初等函数表示，本质上必须依赖椭圆积分。
球体怎么算？如果三个半轴完全相等，工具会直接走捷径，按 \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) 和 \(S = 4\pi a^{2}\) 计算。
单位重要吗？三个输入务必使用同一单位；体积以该单位的三次方输出，表面积以二次方输出。
