Công cụ này làm được gì
Công cụ này tính thể tích và diện tích bề mặt của một ellipsoid tổng quát (ba trục) — một khối tròn nhẵn được mô tả bằng ba bán trục a, b và c. Hình cầu là trường hợp đặc biệt khi cả ba bán trục bằng nhau, còn spheroid (ellipsoid tròn xoay) là trường hợp có hai bán trục bằng nhau. Công cụ hoạt động với mọi giá trị dương và trả về kết quả theo đơn vị nhất quán: thể tích tính bằng đơn vị³ và diện tích bề mặt tính bằng đơn vị².
Cách sử dụng
Nhập độ dài ba bán trục (một nửa chiều rộng đầy đủ theo mỗi trục chính) cùng một đơn vị — tất cả bằng centimét, tất cả bằng inch, hay đơn vị nào tùy bạn. Thứ tự nhập không quan trọng vì công cụ sẽ tự sắp xếp các trục bên trong. Cả ba giá trị đều phải lớn hơn 0. Nhấn nút tính để xem cả hai kết quả.
Giải thích công thức
Thể tích có dạng chính xác rất đơn giản: $$V = \frac{4}{3}\pi\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c}$$ Diện tích bề mặt lại khó hơn nhiều: ellipsoid ba trục không có công thức diện tích sơ cấp dạng đóng. Lời giải chính xác phải dùng đến tích phân elliptic không đầy đủ loại một \(F(\phi,k)\) và loại hai \(E(\phi,k)\). Sau khi sắp xếp các bán trục sao cho \(p \ge q \ge r\), ta đặt \(\cos\phi = r/p\) và \(k^{2} = \dfrac{p^{2}(q^{2}-r^{2})}{q^{2}(p^{2}-r^{2})}\), rồi tính $$S = 2\pi r^{2} + \frac{2\pi p\,q}{\sin\phi}\left[ E(\phi,k)\sin^{2}\phi + F(\phi,k)\cos^{2}\phi \right]$$ Máy tính này xác định \(F\) và \(E\) bằng phương pháp tích phân Simpson hợp thành với độ phân giải cao, vốn hội tụ rất nhanh do các hàm dưới dấu tích phân đều trơn.
Ví dụ minh họa
Với \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\): thể tích = \(\frac{4}{3}\pi(3)(2)(1) = 8\pi \approx 25{,}133\) đơn vị³. Sắp xếp lại ta có \(p=3\), \(q=2\), \(r=1\), nên \(\cos\phi = 1/3\), \(\phi \approx 1{,}23096\) rad, \(k^{2} = 27/32 = 0{,}84375\). Tính bằng số được \(F \approx 1{,}54125\) và \(E \approx 1{,}00526\), cho ra \(S \approx 48{,}88\) đơn vị².
Câu hỏi thường gặp
Vì sao không có công thức diện tích đơn giản? Khác với thể tích, tích phân diện tích bề mặt của ellipsoid ba trục không thể biểu diễn bằng các hàm sơ cấp; về bản chất nó luôn cần đến tích phân elliptic.
Còn với hình cầu thì sao? Nếu cả ba bán trục bằng nhau, công cụ sẽ rút gọn ngay thành \(V = \frac{4}{3}\pi a^{3}\) và \(S = 4\pi a^{2}\).
Đơn vị có quan trọng không? Hãy dùng cùng một đơn vị cho cả ba giá trị nhập vào; thể tích sẽ ra đơn vị mũ ba và diện tích ra đơn vị mũ hai tương ứng.
