Công cụ này làm gì
Công cụ này tính thể tích (số đo n chiều) và diện tích bề mặt (số đo của mặt cầu bao quanh) của một quả cầu n chiều, còn gọi là siêu cầu. Đây là sự mở rộng của hình tròn và hình cầu quen thuộc sang không gian Euclid với số chiều bất kỳ. Với n = 2, bạn nhận được diện tích và chu vi của một hình tròn; với n = 3, đó là thể tích và diện tích bề mặt của một quả cầu thông thường; với n lớn hơn, bạn có được các đại lượng tương tự ở số chiều cao hơn.
Cách sử dụng
Nhập số chiều n (một số nguyên dương như 1, 2, 3, 4, ...) và bán kính r (bất kỳ số thực không âm nào, theo đơn vị độ dài tùy bạn chọn). Thể tích được biểu thị theo (đơn vị độ dài)n và diện tích bề mặt theo (đơn vị độ dài)n-1. Không có ô chọn đơn vị nào: các giá trị nhập vào được coi là số thực không thứ nguyên.
Giải thích công thức
Các công thức dạng đóng sử dụng hàm Gamma — phần mở rộng liên tục của giai thừa. Thể tích là $$V_n(r) = \frac{\pi^{\,n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}\, r^{\,n},$$ và diện tích bề mặt là $$S_n(r) = \frac{2\,\pi^{\,n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)}\, r^{\,n-1}.$$ Hai đại lượng này liên hệ với nhau qua \(S_n(r) = n \, V_n(r) / r\), hay tương đương \(V_n(r) = (r / n) \, S_n(r)\), và diện tích bề mặt chính là đạo hàm của thể tích theo \(r\). Để đảm bảo độ ổn định số học khi n lớn, công cụ này thực hiện mọi phép tính thông qua logarit tự nhiên với phép xấp xỉ log-Gamma Lanczos.
Ví dụ minh họa
Lấy n = 3 và r = 1. Khi đó \(\Gamma(5/2) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi} \approx 1.329340\), và \(\pi^{3/2} \approx 5.568328\), nên $$V = \frac{5.568328}{1.329340} = 4.18879,$$ đúng bằng \(\frac{4}{3}\pi\). Diện tích bề mặt dùng \(\Gamma(3/2) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \approx 0.886227\), cho $$S = \frac{2 \cdot 5.568328}{0.886227} = 12.56637,$$ đúng bằng \(4\pi\).
Câu hỏi thường gặp
n có thể là số không nguyên không? Về mặt toán học thì có, vì hàm Gamma được định nghĩa cho mọi số thực dương, nên các số chiều phân số vẫn cho ra giá trị hợp lệ. Tuy nhiên, mục đích sử dụng chính là cho các số nguyên dương.
Vì sao thể tích của quả cầu đơn vị lại giảm khi n lớn? Thể tích của quả cầu đơn vị đạt cực đại quanh n = 5 rồi tiến dần về 0 khi n tăng — một đặc tính nổi tiếng và khá phản trực giác của hình học trong không gian nhiều chiều.
Diện tích bề mặt có ý nghĩa gì khi n = 1? Quả cầu 1 chiều là đoạn thẳng \([-r, r]\) với "thể tích" bằng \(2r\), và biên của nó là hai điểm đầu mút, nên số đo bề mặt của nó bằng 2.
