ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الحجم (المحتوى في الفضاء ذي الأبعاد n) ومساحة السطح (قياس الكرة المحيطة) لـكرة ذات أبعاد n، والتي تُعرف أيضًا بالكرة الفائقة (Hypersphere). وهي تعميم للدائرة والكرة المألوفتين على أي عدد من الأبعاد الإقليدية. فعند n = 2 تحصل على مساحة القرص ومحيطه؛ وعند n = 3 تحصل على الحجم ومساحة السطح المعتادين للكرة؛ وعند القيم الأعلى لـ n تحصل على المقادير المناظرة في الأبعاد الأعلى.
كيفية الاستخدام
أدخل البُعد n (عدد صحيح موجب مثل 1، 2، 3، 4، ...) ونصف القطر r (أي عدد حقيقي غير سالب، بأي وحدة طول تختارها). يُعرض الحجم بوحدة (وحدة الطول)n، وتُعرض مساحة السطح بوحدة (وحدة الطول)n-1. ولا توجد قوائم منسدلة للوحدات؛ إذ تُعامل المُدخلات كأعداد حقيقية مجردة من الأبعاد.
شرح الصيغة الرياضية
تعتمد الصيغ المغلقة على دالة جاما (Gamma)، وهي الامتداد المتصل لمضروب العدد (Factorial). يُعطى الحجم بالعلاقة $$V_n(r) = \frac{\pi^{\,n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}\, r^{\,n}$$ وتُعطى مساحة السطح بالعلاقة $$S_n(r) = \frac{2\,\pi^{\,n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)}\, r^{\,n-1}$$ وترتبط الكميتان بالعلاقة \(S_n(r) = n \cdot V_n(r) / r\)، أو بصيغة مكافئة \(V_n(r) = (r / n) \cdot S_n(r)\)، كما أن مساحة السطح هي مشتقة الحجم بالنسبة إلى \(r\). ولضمان الاستقرار العددي عند القيم الكبيرة لـ \(n\)، تحسب هذه الأداة كل شيء عبر اللوغاريتمات الطبيعية باستخدام تقريب لانكزوس للوغاريتم دالة جاما (log-Gamma).
مثال محلول
لنأخذ \(n = 3\) و \(r = 1\). عندئذ \(\Gamma(5/2) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi} \approx 1.329340\)، و \(\pi^{3/2} \approx 5.568328\)، ومن ثَمّ $$V = \frac{5.568328}{1.329340} = 4.18879$$ وهو ما يطابق القيمة \(\frac{4}{3}\pi\). أما مساحة السطح فتستخدم \(\Gamma(3/2) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \approx 0.886227\)، ما يعطي $$S = \frac{2 \cdot 5.568328}{0.886227} = 12.56637$$ وهو ما يطابق القيمة \(4\pi\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون n عددًا غير صحيح؟ رياضيًا نعم، لأن دالة جاما معرّفة لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة، ولذلك تعطي الأبعاد الكسرية قيمة صحيحة. غير أن الاستخدام المقصود هو الأعداد الصحيحة الموجبة.
لماذا يتناقص حجم الكرة الواحدية عند القيم الكبيرة لـ n؟ يبلغ حجم الكرة الواحدية ذروته عند \(n = 5\) تقريبًا، ثم يؤول إلى الصفر مع تزايد \(n\)، وهي خاصية شهيرة ومخالفة للحدس في هندسة الأبعاد العالية.
ماذا تعني مساحة السطح عند n = 1؟ الكرة ذات البُعد الواحد هي القطعة \([-r, r]\) و"حجمها" يساوي \(2r\)، وحدّها هو النقطتان الطرفيتان، ولذلك يساوي قياس سطحها 2.
