ما هو المخروط الناقص؟
المخروط الناقص، ويُعرف أيضًا بالمخروط المقطوع، هو المجسم الذي يتبقى عندما نقطع قمة المخروط بمستوٍ موازٍ لقاعدته. يتكوّن من وجهين دائريين متوازيين: وجه سفلي أكبر نصف قطره \(r_1\)، ووجه علوي أصغر نصف قطره \(r_2\)، يفصل بينهما ارتفاع عمودي \(h\). تحسب هذه الأداة الحجم، والمساحة الجانبية (مساحة السطح الجانبي)، والمساحة الكلية للسطح، والارتفاع المائل. هي حسابات هندسية بحتة تعمل مع أي وحدة طول طالما استُخدمت الوحدة نفسها في جميع القياسات.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف القطر السفلي (r1)، ونصف القطر العلوي (r2)، والارتفاع العمودي (h)، ثم اختر وحدة الطول. استخدم الوحدة نفسها للقياسات الثلاثة جميعها. يُعرض الحجم بمكعّب تلك الوحدة، وتُعرض المساحات بمربّع الوحدة. اضبط r2 = 0 لتمثيل مخروط كامل، أو اجعل r1 = r2 لتمثيل أسطوانة.
شرح المعادلة
الحجم يُحسب بالعلاقة $$V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2}\right)$$ أما الارتفاع المائل فهو المسافة القُطرية على طول الجانب: $$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(r_1 - r_2\right)^{2}}$$ والمساحة الجانبية تُعطى بالعلاقة $$S_{side} = \pi\left(r_1 + r_2\right)\ell$$ وبإضافة الوجهين الدائريين نحصل على المساحة الكلية للسطح $$S = S_{side} + \pi r_1^{2} + \pi r_2^{2}$$
مثال محلول
لنفترض أن \(r_1 = 3\) و\(r_2 = 2\) و\(h = 5\) (بالأمتار): يكون \(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2} = 9 + 6 + 4 = 19\)، ومن ثم $$V = \frac{\pi\cdot 5}{3}\cdot 19 \approx 99.4838 \text{ م}^3$$ والارتفاع المائل $$\ell = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5.099 \text{ م}$$ والمساحة الجانبية $$S_{side} = \pi\cdot 5\cdot 5.099 \approx 80.1037 \text{ م}^2$$ ويضيف الوجهان \(\pi\cdot 9 + \pi\cdot 4 \approx 40.8407 \text{ م}^2\)، فتكون المساحة الكلية \(S \approx 120.9444 \text{ م}^2\).
الأسئلة الشائعة
هل يؤثّر ترتيب نصفي القطر في النتيجة؟ لا. فالارتفاع المائل يعتمد على \((r_1 - r_2)^{2}\)، لذا فإن تبديل نصفي القطر يعطي المساحة والحجم نفسيهما.
ماذا لو كان نصف القطر العلوي يساوي صفرًا؟ عندئذٍ يتحول المخروط الناقص إلى مخروط كامل، وتختزل المعادلات إلى الحجم المعتاد للمخروط \(V = \frac{\pi h}{3}r_1^{2}\) والارتفاع المائل \(\sqrt{h^{2} + r_1^{2}}\).
ماذا لو تساوى نصفا القطر؟ تحصل على أسطوانة، حيث \(\ell = h\) و\(V = \pi r_1^{2}h\) و\(S_{side} = 2\pi r_1\cdot h\).
