Что такое усечённый конус?
Усечённый конус — это тело, которое получается, если у обычного конуса срезать вершину плоскостью, параллельной основанию. У него два параллельных круглых основания: большее снизу с радиусом r1 и меньшее сверху с радиусом r2, разделённые перпендикулярной высотой h. Этот калькулятор находит объём, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и длину образующей. Это чистая геометрия, и расчёт работает с любой единицей длины — главное, чтобы она была одинаковой для всех величин.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус нижнего основания (r1), радиус верхнего основания (r2) и перпендикулярную высоту (h), затем выберите единицу длины. Используйте одну и ту же единицу для всех трёх размеров. Объём выводится в этой единице в кубе, а площади — в этой единице в квадрате. Задайте r2 = 0, чтобы смоделировать полный конус, или r1 = r2, чтобы получить цилиндр.
Разбор формул
Объём вычисляется по формуле $$V = \frac{\pi \cdot h}{3}\left(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2}\right).$$ Образующая — это диагональное расстояние вдоль боковой стороны: $$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(r_1 - r_2\right)^{2}}.$$ Площадь боковой поверхности равна $$S_{\text{бок}} = \pi\left(r_1 + r_2\right)\ell.$$ Если добавить площади обоих круглых оснований, получим полную поверхность: $$S = S_{\text{бок}} + \pi r_1^{2} + \pi r_2^{2}.$$
Пример расчёта
Пусть \(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\), \(h = 5\) (в метрах): \(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2} = 9 + 6 + 4 = 19\), поэтому $$V = \frac{\pi\cdot 5}{3}\cdot 19 \approx 99{,}4838 \text{ м}^3.$$ Образующая \(\ell = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5{,}099\) м. Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = \pi\cdot 5\cdot 5{,}099 \approx 80{,}1037\) м². Основания добавляют \(\pi\cdot 9 + \pi\cdot 4 \approx 40{,}8407\) м², что даёт полную поверхность \(S \approx 120{,}9444\) м².
Частые вопросы
Важен ли порядок радиусов? Нет. В формуле образующей используется \(\left(r_1 - r_2\right)^{2}\), поэтому если поменять радиусы местами, объём и площадь поверхности останутся прежними.
Что будет, если верхний радиус равен нулю? Усечённый конус превращается в обычный конус, и формулы сводятся к стандартным: объём \(V = \frac{\pi h}{3}r_1^{2}\) и образующая \(\sqrt{h^{2} + r_1^{2}}\).
Что будет, если оба радиуса равны? Получится цилиндр, где \(\ell = h\), \(V = \pi r_1^{2}h\) и \(S_{\text{бок}} = 2\pi r_1\cdot h\).
