원뿔대 부피·표면적 계산기

계산 입력

아랫면 반지름 (r1)

윗면 반지름 (r2)

높이 (h)

길이 단위 밀리미터 (mm) 센티미터 (cm) 미터 (m) 킬로미터 (km) 인치 (in) 피트 (ft)

공식

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height along the lateral side

2. Lateral Surface Area

   

   Lateral surface area; l is the slant height

3. Total Surface Area

   

   Total surface area = lateral area plus both circular ends

결과

부피 (V)

99.4838

m³

옆면적 (측면적, S_side)	80.0952 m²
전체 표면적 (S)	120.9359 m²
모선 길이 (l)	5.099 m

원뿔대란?

원뿔대(절두원뿔, truncated cone)는 원뿔의 윗부분을 밑면과 평행하게 잘라냈을 때 남는 입체도형입니다. 평행한 두 개의 원형 면을 가지는데, 반지름이 \(r_1\)인 큰 아랫면과 반지름이 \(r_2\)인 작은 윗면이 수직 높이 \(h\)만큼 떨어져 있습니다. 이 계산기는 원뿔대의 부피, 옆면적(측면적), 전체 표면적, 그리고 모선 길이를 구해 줍니다. 순수한 기하학 계산이므로 길이 단위만 통일하면 어떤 단위로도 사용할 수 있습니다.

두 반지름(\(r_1\), \(r_2\)), 높이(\(h\)), 모선을 가진 원뿔대.

사용 방법

아랫면 반지름(\(r_1\)), 윗면 반지름(\(r_2\)), 수직 높이(\(h\))를 입력한 뒤 길이 단위를 선택하세요. 세 값 모두 같은 단위로 입력해야 합니다. 부피는 선택한 단위의 세제곱으로, 표면적은 제곱으로 표시됩니다. \(r_2 = 0\)으로 두면 완전한 원뿔이 되고, \(r_1 = r_2\)로 두면 원기둥이 됩니다.

공식 이해하기

부피는 다음과 같이 구합니다.

$$V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2}\right)$$

모선 길이는 옆면을 따라 잰 대각선 거리로, 다음과 같습니다.

$$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(r_1 - r_2\right)^{2}}$$

옆면적은 다음과 같으며,

$$S_{\text{side}} = \pi\left(r_1 + r_2\right)\ell$$

여기에 위아래 두 원형 면을 더하면 전체 표면적은 다음과 같이 됩니다.

$$S = S_{\text{side}} + \pi r_1^{2} + \pi r_2^{2}$$

전체 표면적은 두 개의 원형 면과 옆면(측면)을 합한 것입니다.

계산 예시

\(r_1 = 3\), \(r_2 = 2\), \(h = 5\)(단위: 미터)인 경우를 살펴봅시다. \(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2} = 9 + 6 + 4 = 19\)이므로 부피는 다음과 같습니다.

$$V = \frac{\pi\cdot 5}{3}\cdot 19 \approx 99.4838 \text{ m}^3$$

모선 길이는 다음과 같습니다.

$$\ell = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5.099 \text{ m}$$

옆면적은 \(S_{\text{side}} = \pi\cdot 5\cdot 5.099 \approx 80.1037 \text{ m}^2\)이고, 두 원형 면은 \(\pi\cdot 9 + \pi\cdot 4 \approx 40.8407 \text{ m}^2\)를 더해 주므로 전체 표면적은 \(S \approx 120.9444 \text{ m}^2\)가 됩니다.

자주 묻는 질문

두 반지름의 순서가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 모선 길이는 \(\left(r_1 - r_2\right)^{2}\)을 사용하므로 두 반지름을 서로 바꿔 넣어도 표면적과 부피는 동일합니다.

윗면 반지름이 0이면 어떻게 되나요? 원뿔대가 완전한 원뿔이 되며, 공식은 표준 원뿔 부피 \(V = \frac{\pi h}{3}r_1^{2}\)과 모선 길이 \(\sqrt{h^{2} + r_1^{2}}\)로 단순해집니다.

두 반지름이 같으면 어떻게 되나요? 원기둥이 됩니다. 이때 \(\ell = h\), \(V = \pi r_1^{2} h\), \(S_{\text{side}} = 2\pi r_1\cdot h\)가 됩니다.