円錐台とは
円錐台（切頭円錐）とは、円錐を底面に平行な平面で切り取り、頂点側を取り除いたときに残る立体です。半径 \(r_1\) の大きい下底面と、半径 \(r_2\) の小さい上底面という2つの平行な円面を持ち、これらは垂直な高さ \(h\) で隔てられています。この計算では、体積・側面積・表面積、そして母線（側面の斜めの長さ）を求めます。純粋な幾何計算なので、長さの単位をすべてそろえれば、どの単位でもそのまま使えます。
使い方
下底半径（\(r_1\)）、上底半径（\(r_2\)）、垂直な高さ（\(h\)）を入力し、長さの単位を選びます。3つの値はすべて同じ単位で入力してください。体積はその単位の3乗で、表面積はその単位の2乗で表示されます。\(r_2 = 0\) とすれば通常の円錐、\(r_1 = r_2\) とすれば円柱として計算できます。
計算式の解説
体積は次の式で求められます。
$$V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^{2} + r_1\,r_2 + r_2^{2}\right)$$母線の長さは側面に沿った斜めの距離で、次のようになります。
$$\ell = \sqrt{h^{2} + \left(r_1 - r_2\right)^{2}}$$側面積は次のとおりです。
$$S_{\text{side}} = \pi\left(r_1 + r_2\right)\ell$$これに上下2つの円面の面積を加えると、表面積が得られます。
$$S = S_{\text{side}} + \pi r_1^{2} + \pi r_2^{2}$$
計算例
\(r_1 = 3\)、\(r_2 = 2\)、\(h = 5\)（単位：メートル）の場合：\(r_1^{2} + r_1\cdot r_2 + r_2^{2} = 9 + 6 + 4 = 19\) となるので、
$$V = \frac{\pi\cdot 5}{3}\cdot 19 \approx 99.4838\ \text{m}^3$$です。母線の長さは \(\ell = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5.099\ \text{m}\)。側面積は \(S_{\text{side}} = \pi\cdot 5\cdot 5.099 \approx 80.1037\ \text{m}^2\)。上下の円面は \(\pi\cdot 9 + \pi\cdot 4 \approx 40.8407\ \text{m}^2\) を加えるので、表面積は合計 \(S \approx 120.9444\ \text{m}^2\) となります。
よくある質問
2つの半径の順番は結果に影響しますか？ 影響しません。母線の計算では \((r_1 - r_2)^{2}\) を使うため、2つの半径を入れ替えても体積・表面積は同じ値になります。
上底半径が0のときはどうなりますか？ 円錐台は通常の円錐になり、計算式は標準的な円錐の体積 \(V = \frac{\pi h}{3}r_1^{2}\) と母線 \(\sqrt{h^{2} + r_1^{2}}\) に一致します。
2つの半径が等しいときはどうなりますか？ 円柱になります。このとき \(\ell = h\)、\(V = \pi r_1^{2}h\)、\(S_{\text{side}} = 2\pi r_1\cdot h\) となります。
