구면캡(반구 절두체)이란?
구면캡은 반지름 r인 구를 수평 평면 하나로 잘랐을 때, 그 평면 위쪽(또는 아래쪽)에 남는 돔 모양의 입체를 말합니다. 높이 h는 잘린 평평한 단면에서 구의 꼭대기까지의 거리로 측정합니다. 이 계산기는 h를 r 이하로 제한하므로, 만들 수 있는 가장 큰 입체는 정확히 반구가 됩니다. 평평하게 잘린 원형 단면의 반지름은 a이며, \(a^2 = h(2r - h)\) 관계가 성립합니다.
계산기 사용법
구의 반지름 r과 캡 높이 h를 같은 길이 단위(센티미터, 인치, 미터 등 원하는 단위)로 입력하세요. 부피는 그 단위의 세제곱, 면적은 제곱으로 나옵니다. 반드시 0 < h ≤ r 조건을 지켜야 합니다. 계산기는 부피, 전체 표면적(곡면 돔 + 평평한 밑면), 그리고 유용한 중간값들 즉 돔 면적, 밑면 원판 면적, 밑면 원의 반지름 a를 함께 알려줍니다.
공식 풀이
캡의 부피는 다음과 같습니다.
$$V = \frac{\pi\, h^{2}}{3}\left(3\,r - h\right)$$곡면(구면) 표면적은 구대(球帶) 넓이인 \(2\pi r h\)로, 아르키메데스가 밝혀낸 깔끔한 결과입니다. 평평한 밑면은 넓이가 \(\pi a^2 = \pi h(2r - h)\)인 원입니다. 이 둘을 더하면 전체 표면적
$$S = 2\pi r h + \pi h(2r - h) = \pi h(4r - h)$$가 됩니다.
계산 예시
r = 1, h = 0.5인 경우:
$$a = \sqrt{0.5 \times 1.5} = \sqrt{0.75} \approx 0.8660$$$$V = \pi \times \frac{0.25}{3} \times 2.5 = \pi \times 0.20833 \approx 0.65450$$$$\text{곡면 면적} = 2\pi \times 1 \times 0.5 = \pi \approx 3.14159$$$$\text{밑면 면적} = 0.75\pi \approx 2.35619$$$$S = \pi \times 0.5 \times 3.5 = 1.75\pi \approx 5.49779$$자주 묻는 질문
왜 h가 r로 제한되나요? 원래 이 도구는 "최대 반구까지"를 다루도록 설계되어 높이를 구의 반지름까지로 제한합니다. 수학적으로는 캡의 높이가 2r까지 가능하지만, 이 버전은 \(h \le r\) 범위 안에서만 작동합니다.
표면적에 평평한 원판도 포함되나요? 네. 표시되는 전체 표면적은 곡면 돔과 평평한 원형 단면을 모두 합한 값입니다. 돔 부분만 필요하다면 곡면 면적 항목을 확인하세요.
h = r일 때는 어떻게 되나요? 완벽한 반구가 됩니다: \(V = \tfrac{2}{3}\pi r^3\), 돔 = \(2\pi r^2\), 밑면 = \(\pi r^2\).
