구형 캡(잘린 구) 부피 및 표면적 계산기

계산 입력

구의 반지름 (R)

캡 높이 (h)

길이 단위 미터 (m) 센티미터 (cm) 밀리미터 (mm) 킬로미터 (km) 인치 (in) 피트 (ft)

Constraint: 0 < h ≤ 2R. h = 2R gives the full sphere; h = R gives a hemisphere.

공식

Show calculation steps (3)

1. Base Radius

   

   radius of the flat circular face of the cap

2. Curved Surface Area

   

   area of the dome (curved) surface only

3. Total Surface Area

   

   curved surface plus flat base, with base area = pi h (2R - h)

결과

구형 캡의 부피

435.6342

cm³

캡의 밑면 반지름 (a)	8 cm
곡면(구면) 넓이	251.3274 cm²
평평한 원형 밑면의 넓이	201.0619 cm²
전체 표면적 (곡면 + 밑면)	452.3893 cm²

구형 캡이란?

구형 캡(구면 돔 또는 밑면이 하나인 잘린 구라고도 합니다)은 구를 하나의 평면으로 잘랐을 때 잘려 나온 작은 조각, 즉 돔 모양의 입체를 말합니다. 구의 반지름 \(R\)과 캡 높이 \(h\), 즉 자른 평면에서 돔의 꼭대기까지의 거리로 정의됩니다. 이 도구는 어느 나라에서나 똑같이 쓰이는 보편적인 도형 계산기로, 공식은 길이 단위와 상관없이 동일하게 적용됩니다.

구면 캡은 평면으로 구를 잘라낸 돔 모양입니다.

사용 방법

구의 반지름 \(R\)과 캡 높이 \(h\)를 입력한 뒤 길이 단위를 선택하세요(입력값과 결과값 모두 같은 단위가 사용됩니다). 조건은 \(0 < h \le 2R\)입니다. \(h = 2R\)이면 캡이 구 전체가 되고, \(h = R\)이면 정확히 반구가 됩니다. 계산기는 평평한 밑면의 반지름 \(a\), 캡의 부피, 곡면(구면) 넓이, 평평한 밑면의 넓이, 그리고 전체 표면적을 알려줍니다.

공식 풀이

밑면 반지름은 직각삼각형 관계식 \(a^{2} = h(2R - h)\)에서 나오며, 따라서

$$a = \sqrt{h\left(2R - h\right)}$$

입니다. 부피는

$$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3R - h\right)$$

이고, 캡의 곡면 넓이는 \(S_{\text{curved}} = 2\pi R h\), 평평한 원형 밑면의 넓이는 \(S_{\text{base}} = \pi a^{2} = \pi h(2R - h)\)입니다. 전체 표면적은 이 둘을 더한

$$S_{\text{total}} = 2\pi R h + \pi h\left(2R - h\right)$$

가 됩니다.

캡은 곡면(구면)과 평평한 원형 밑면을 가집니다.

예제로 익히기

\(R = 10\) cm, \(h = 4\) cm라고 해 봅시다. 그러면

$$a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

입니다. 부피는

$$V = \left(\frac{\pi \times 16}{3}\right)(30 - 4) = \frac{416}{3}\pi \approx 435.63 \text{ cm}^{3}$$

입니다. 곡면 넓이는 \(2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251.33\) cm², 밑면 넓이는 \(\pi \times 64 = 64\pi \approx 201.06\) cm², 그리고 전체 표면적은 \(144\pi \approx 452.39\) cm²입니다.

자주 묻는 질문

h가 2R과 같으면 어떻게 되나요? 캡이 구 전체가 됩니다. \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\), 곡면 넓이 \(= 4\pi R^{2}\)이고 밑면 반지름은 0입니다.

h가 R과 같으면 어떻게 되나요? 반구가 됩니다. \(V = \frac{2}{3}\pi R^{3}\), 곡면 넓이 \(= 2\pi R^{2}\), \(a = R\)입니다.

캡 높이가 지름보다 클 수 있나요? 아닙니다. 자르는 평면이 구 전체보다 더 많이 잘라낼 수는 없으므로 \(h\)는 \(0 < h \le 2R\)을 만족해야 하며, 이보다 큰 값은 허용되지 않습니다.