구형 캡이란?
구형 캡(구면 돔 또는 밑면이 하나인 잘린 구라고도 합니다)은 구를 하나의 평면으로 잘랐을 때 잘려 나온 작은 조각, 즉 돔 모양의 입체를 말합니다. 구의 반지름 \(R\)과 캡 높이 \(h\), 즉 자른 평면에서 돔의 꼭대기까지의 거리로 정의됩니다. 이 도구는 어느 나라에서나 똑같이 쓰이는 보편적인 도형 계산기로, 공식은 길이 단위와 상관없이 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
구의 반지름 \(R\)과 캡 높이 \(h\)를 입력한 뒤 길이 단위를 선택하세요(입력값과 결과값 모두 같은 단위가 사용됩니다). 조건은 \(0 < h \le 2R\)입니다. \(h = 2R\)이면 캡이 구 전체가 되고, \(h = R\)이면 정확히 반구가 됩니다. 계산기는 평평한 밑면의 반지름 \(a\), 캡의 부피, 곡면(구면) 넓이, 평평한 밑면의 넓이, 그리고 전체 표면적을 알려줍니다.
공식 풀이
밑면 반지름은 직각삼각형 관계식 \(a^{2} = h(2R - h)\)에서 나오며, 따라서
$$a = \sqrt{h\left(2R - h\right)}$$입니다. 부피는
$$V = \frac{\pi h^{2}}{3}\left(3R - h\right)$$이고, 캡의 곡면 넓이는 \(S_{\text{curved}} = 2\pi R h\), 평평한 원형 밑면의 넓이는 \(S_{\text{base}} = \pi a^{2} = \pi h(2R - h)\)입니다. 전체 표면적은 이 둘을 더한
$$S_{\text{total}} = 2\pi R h + \pi h\left(2R - h\right)$$가 됩니다.
예제로 익히기
\(R = 10\) cm, \(h = 4\) cm라고 해 봅시다. 그러면
$$a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$입니다. 부피는
$$V = \left(\frac{\pi \times 16}{3}\right)(30 - 4) = \frac{416}{3}\pi \approx 435.63 \text{ cm}^{3}$$입니다. 곡면 넓이는 \(2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251.33\) cm², 밑면 넓이는 \(\pi \times 64 = 64\pi \approx 201.06\) cm², 그리고 전체 표면적은 \(144\pi \approx 452.39\) cm²입니다.
자주 묻는 질문
h가 2R과 같으면 어떻게 되나요? 캡이 구 전체가 됩니다. \(V = \frac{4}{3}\pi R^{3}\), 곡면 넓이 \(= 4\pi R^{2}\)이고 밑면 반지름은 0입니다.
h가 R과 같으면 어떻게 되나요? 반구가 됩니다. \(V = \frac{2}{3}\pi R^{3}\), 곡면 넓이 \(= 2\pi R^{2}\), \(a = R\)입니다.
캡 높이가 지름보다 클 수 있나요? 아닙니다. 자르는 평면이 구 전체보다 더 많이 잘라낼 수는 없으므로 \(h\)는 \(0 < h \le 2R\)을 만족해야 하며, 이보다 큰 값은 허용되지 않습니다.
