Что такое шаровой сегмент?
Шаровой сегмент (его также называют шаровым куполом или усечённой сферой с одним основанием) — это тело, которое остаётся, если рассечь сферу одной плоскостью и оставить отсечённую «шапочку». Он задаётся радиусом сферы \(R\) и высотой сегмента \(h\) — расстоянием от секущей плоскости до вершины купола. Это универсальный геометрический инструмент: формулы работают одинаково в любой точке мира и в любых единицах длины.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус сферы \(R\) и высоту сегмента \(h\), затем выберите единицу длины (она используется и для исходных данных, и для результатов). Действует ограничение \(0 < h \le 2R\): при \(h = 2R\) сегмент превращается в полную сферу, а при \(h = R\) получается ровно полусфера. Калькулятор выдаёт радиус плоского основания \(a\), объём сегмента, площадь сферической (выпуклой) поверхности, площадь плоского основания и полную площадь поверхности.
Разбор формул
Радиус основания находится из соотношения для прямоугольного треугольника \(a^2 = h(2R - h)\), откуда $$a = \sqrt{h(2R - h)}.$$ Объём равен $$V = \frac{\pi h^2}{3}\left(3R - h\right).$$ Площадь сферической поверхности сегмента $$S_{\text{сфер}} = 2\pi R h,$$ а площадь плоского круглого основания $$S_{\text{осн}} = \pi a^2 = \pi h(2R - h).$$ Полная площадь поверхности складывается из этих двух величин: $$S_{\text{полн}} = 2\pi R h + \pi h(2R - h).$$
Пример расчёта
Пусть \(R = 10\) см и \(h = 4\) см. Тогда $$a = \sqrt{4 \times 16} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}.$$ Объём равен $$V = \frac{\pi \times 16}{3}(30 - 4) = \frac{416}{3}\pi \approx 435{,}63 \text{ см}^3.$$ Площадь сферической поверхности составляет $$2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \approx 251{,}33 \text{ см}^2,$$ площадь основания $$\pi \times 64 = 64\pi \approx 201{,}06 \text{ см}^2,$$ а полная площадь поверхности — $$144\pi \approx 452{,}39 \text{ см}^2.$$
Частые вопросы
Что будет, если \(h\) равно \(2R\)? Сегмент превращается в полную сферу: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\), площадь сферической поверхности \(= 4\pi R^2\), а радиус основания равен \(0\).
Что будет, если \(h\) равно \(R\)? Получается полусфера: \(V = \frac{2}{3}\pi R^3\), площадь сферической поверхности \(= 2\pi R^2\), а \(a = R\).
Может ли высота сегмента превышать диаметр? Нет. Секущая плоскость не может «срезать» больше, чем всю сферу, поэтому должно выполняться условие \(0 < h \le 2R\); большие значения не принимаются.
