Что делает этот калькулятор
Этот инструмент решает неравенства с модулем, записанные в стандартном виде \(|ax + b|\) в сравнении с \(c\), где знак сравнения может быть <, ≤, > или ≥. Введите коэффициент \(a\), константу \(b\) внутри модуля, тип неравенства и значение \(c\) в правой части — и калькулятор выдаст точное множество решений в виде интервала вместе с его граничными точками.
Как пользоваться
Подберите значения так, чтобы ваше неравенство соответствовало форме \(|ax + b| \,?\, c\). Например, неравенство \(|2x - 4| \le 6\) означает, что \(a = 2\), \(b = -4\), тип «≤», а \(c = 6\). Отправьте форму, чтобы увидеть интервал решения. Квадратные скобки [ ] означают, что граница включена (≤ или ≥), а круглые скобки ( ) — что она исключена (< или >).
Разбор формулы
Модуль показывает расстояние от нуля, поэтому он никогда не бывает отрицательным. Для неравенства «меньше» запись \(|ax+b| < c\) говорит о том, что выражение остаётся в пределах расстояния \(c\) от нуля, что даёт двойное неравенство $$|ax+b| < c \;\Longrightarrow\; -c < ax+b < c$$ Решая его относительно \(x\), получаем один ограниченный интервал $$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$ между \(\frac{-c-b}{a}\) и \(\frac{c-b}{a}\). Для неравенства «больше» выражение должно отстоять от нуля дальше, чем на \(c\), поэтому оно распадается на два луча: $$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \tfrac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \tfrac{c-b}{a}$$ образуя объединение двух интервалов. Особые случаи: если \(c\) отрицательно, то форма «меньше» не имеет решений, а форме «больше» удовлетворяют все действительные числа.
Разобранный пример
Решим \(|2x - 4| \le 6\). Здесь \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 6\). Перепишем: $$-6 \le 2x - 4 \le 6$$ Прибавим 4: $$-2 \le 2x \le 10$$ Разделим на 2: $$-1 \le x \le 5$$ Множество решений — это замкнутый интервал \([-1, 5]\).
Ключевые термины и символы
- Абсолютное значение \(|u|\)
- Расстояние числа от нуля на числовой оси, всегда неотрицательное. Например \(|-3| = 3\) и \(|5| = 5\). Поскольку это расстояние, \(|u| \ge 0\) для любого значения \(u\).
- Граничная точка
- Значение \(x\), в котором выражение абсолютного значения точно равно \(c\) — делящая линия между решением и неешением. Они находятся путём решения связанного уравнения \(|ax+b| = c\).
- Открытый интервал
- Интервал, который не включает свои концы, используется для строгих неравенств (\(<, >\)). Записывается со скобками, например \((-1, 5)\).
- Закрытый интервал
- Интервал, который включает свои концы, используется для нестрогих неравенств (\(\le, \ge\)). Записывается с квадратными скобками, например \([-1, 5]\).
- Квадратные скобки \([\;]\) и круглые скобки \((\;)\)
- Квадратная скобка означает, что конец включён в решение (\(\le\) или \(\ge\)); круглая скобка означает, что конец исключён (\(<\) или \(>\)). Бесконечность всегда использует круглую скобку.
- Объединение \(\cup\)
- Объединяет два отдельных множества в одно решение. Неравенство абсолютного значения "больше чем" дает объединение двух лучей, например \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\).
- Конъюнкция («и») и дизъюнкция («или»)
- Конъюнкция требует, чтобы оба условия выполнялись одновременно и даёт один ограниченный интервал (случай "\(<\)"). Дизъюнкция требует только одного условия и даёт объединение двух лучей (случай "\(>\)").
- Коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\)
- В \(|ax+b| \;\square\; c\): \(a\) — коэффициент, умножающий \(x\) внутри палочек, \(b\) — константа, добавленная внутри палочек, и \(c\) — значение на правой стороне, с которым сравнивается абсолютное значение.
Часто задаваемые вопросы
Что если \(a\) отрицательно? Калькулятор справляется с этим автоматически, упорядочивая два граничных значения от меньшего к большему, поэтому интервал всегда выводится корректно.
Почему \(|ax+b| < 0\) не имеет решений? Модуль никогда не бывает отрицательным, поэтому он не может быть меньше отрицательного числа (или меньше 0).
Что означает символ ∪? Это знак объединения. Он указывает, что ответ состоит из двух отдельных интервалов, объединённых вместе, — так бывает с неравенствами вида «больше».
