ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحل هذه الأداة متباينات القيمة المطلقة المكتوبة بالصيغة القياسية \(|ax + b|\) بالمقارنة مع \(c\)، حيث يمكن أن تكون المقارنة < أو ≤ أو > أو ≥. أدخل المعامل \(a\)، والثابت الداخلي \(b\)، ونوع المتباينة، والقيمة الموجودة على الطرف الأيمن \(c\)، فتعيد لك الحاسبة مجموعة الحل الدقيقة على شكل فترة مع نقاط حدودها.
كيفية الاستخدام
اختر القيم بحيث تطابق متباينتك الصيغة \(|ax + b|\) ؟ \(c\). على سبيل المثال، المتباينة \(|2x - 4| \le 6\) تعني أن \(a = 2\)، و\(b = -4\)، والنوع "≤"، و\(c = 6\). أرسل النموذج لتظهر لك فترة الحل. يدل القوسان المعقوفان [ ] على أن نقطة النهاية مشمولة في الحل (في حالة ≤ أو ≥)، بينما يدل القوسان العاديان ( ) على أنها غير مشمولة (في حالة < أو >).
شرح القانون
تقيس القيمة المطلقة المسافة عن الصفر، ولذلك فهي لا تكون سالبة أبدًا. في حالة متباينة "أصغر من"، تعني \(|ax+b| < c\) أن المقدار يبقى ضمن مسافة قدرها \(c\) من الصفر، مما يعطينا المتباينة المركّبة:
$$|ax+b| < c \;\Longrightarrow\; -c < ax+b < c$$وبحل المتباينة بالنسبة إلى \(x\) نحصل على فترة واحدة محدودة محصورة بين:
$$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$أما في حالة متباينة "أكبر من"، فيجب أن يبتعد المقدار عن الصفر مسافة أكبر من \(c\)، لذا تنقسم المتباينة إلى شعاعين:
$$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \tfrac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \tfrac{c-b}{a}$$مما ينتج عنه اتحاد فترتين. حالات خاصة: إذا كانت \(c\) سالبة، فإن صيغة "أصغر من" لا حل لها، بينما تتحقق صيغة "أكبر من" لجميع الأعداد الحقيقية.
مثال محلول
لنحل المتباينة \(|2x - 4| \le 6\). هنا \(a = 2\)، و\(b = -4\)، و\(c = 6\). نعيد الكتابة:
$$-6 \le 2x - 4 \le 6$$نضيف 4:
$$-2 \le 2x \le 10$$نقسم على 2:
$$-1 \le x \le 5$$إذن مجموعة الحل هي الفترة المغلقة \([-1, 5]\).
المصطلحات الأساسية والرموز
- القيمة المطلقة \(|u|\)
- المسافة من رقم إلى الصفر على خط الأعداد، وهي دائماً غير سالبة. على سبيل المثال \(|-3| = 3\) و \(|5| = 5\). لأنها مسافة، فإن \(|u| \ge 0\) لكل قيمة من قيم \(u\).
- نقطة الحدود
- قيمة \(x\) حيث التعبير ذو القيمة المطلقة يساوي بالضبط \(c\) — نقطة الفصل بين الحل واللاحل. يتم العثور عليها بحل المعادلة المرتبطة \(|ax+b| = c\).
- فترة مفتوحة
- فترة لا تتضمن نقاط نهايتها، تُستخدم للمتباينات الصارمة (\(<, >\)). مكتوبة بأقواس، على سبيل المثال \((-1, 5)\).
- فترة مغلقة
- فترة تتضمن نقاط نهايتها، تُستخدم للمتباينات الشاملة (\(\le, \ge\)). مكتوبة بأقواس معقوفة، على سبيل المثال \([-1, 5]\).
- الأقواس المعقوفة \([\;]\) مقابل الأقواس \((\;)\)
- القوس المعقوف يعني أن نقطة النهاية جزء من الحل (\(\le\) أو \(\ge\))؛ القوس يعني أن نقطة النهاية مستبعدة (\(<\) أو \(>\)). الما لا نهاية دائماً يستخدم قوس.
- الاتحاد \(\cup\)
- يجمع بين مجموعتين منفصلتين في حل واحد. متباينة القيمة المطلقة "أكبر من" تنتج اتحاد شعاعين، على سبيل المثال \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\).
- العطف ("و") مقابل الفصل ("أو")
- يتطلب العطف تحقق كلا الشرطين في نفس الوقت وينتج فترة محدودة واحدة (حالة "\(<\)"). يتطلب الفصل تحقق شرط واحد فقط وينتج اتحاد شعاعين (حالة "\(>\)").
- المعاملات \(a\)، \(b\)، \(c\)
- في \(|ax+b| \;\square\; c\): \(a\) هو المعامل الذي يضرب \(x\) داخل الأقواس، \(b\) هو الثابت المُضاف داخل الأقواس، و \(c\) هي القيمة على الجانب الأيمن التي تتم مقارنة القيمة المطلقة بها.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(a\) سالبًا؟ تتعامل الحاسبة مع هذه الحالة تلقائيًا عن طريق ترتيب قيمتي الحدّ من الأصغر إلى الأكبر، بحيث تُعرض الفترة بشكل صحيح دائمًا.
لماذا لا حل للمتباينة \(|ax+b| < 0\)؟ لأن القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدًا، فلا يمكن أن تكون أصغر من عدد سالب (أو أصغر من 0).
ماذا يعني الرمز ∪؟ إنه رمز الاتحاد، ويدل على أن الإجابة تتكوّن من فترتين منفصلتين مدمجتين معًا، كما يحدث في متباينات "أكبر من".
