ما هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني؟
التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني، ويُرمز له بـ \(E(k)\)، هو دالة خاصة تُعرَّف بأنها تكامل الجذر التربيعي لـ (1 ناقص k² مضروبة في جيب تمام الزاوية تربيع... أو بدقة: جيب الزاوية تربيع θ) من الصفر إلى π/2. تظهر هذه الدالة في كل مرة تحتاج فيها إلى الحساب الدقيق لمحيط القطع الناقص (الإهليلج)، أو طول قوس موجة جيبية، أو دور بندول ذي سعة اهتزاز كبيرة، أو معاملات شدة الإجهاد للشقوق الإهليلجية. أما الدخل \(k\) فيُسمى المعامل، ويجب أن يقع بين -1 و1.
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل المعامل \(k\) (عدد بلا وحدة يتراوح بين -1 و1) واقرأ مباشرةً قيمة \(E(k)\). وبما أن المُكامَل (الدالة داخل التكامل) يعتمد على \(k^2\) فقط، فإن النتيجة متماثلة: \(E(-k) = E(k)\). تتناقص الدالة تناقصاً سلساً من القيمة \(E(0) = \pi/2\) وصولاً إلى \(E(1) = 1\). ولاحظ أن هذه الأداة تستقبل المعامل \(k\) مباشرةً، وليس البارامتر \(m = k^2\) الذي تعتمده بعض المراجع، فانتبه إلى هذا الفرق عند المقارنة.
شرح الصيغة
نحسب \(E(k)\) بطريقة المتوسط الحسابي-الهندسي (AGM)، وهي طريقة تتقارب بشكل تربيعي (سريع جداً). نبدأ بوضع \(a_0 = 1\)، و\(b_0 = \sqrt{1 - k^2}\)، و\(c_0 = k\). وفي كل خطوة نحسب \(a = (a+b)/2\)، و\(b = \sqrt{a\cdot b}\)، و\(c = (a-b)/2\) إلى أن تصبح c مهملة الصغر. عندئذٍ يكون \(K(k) = \pi / (2\cdot a_N)\) هو التكامل من النوع الأول، ويكون \(E(k) = K(k)\cdot\left(1 - \tfrac{1}{2}\cdot\sum 2^n \cdot c_n^2\right)\). تتجنب هذه الطريقة المتسلسلات الأسية بطيئة التقارب، وتعطي دقة تبلغ دقة الآلة خلال عدد ضئيل من التكرارات فقط.
مثال محلول
عند \(k = 0.1\) يكون \(m = 0.01\). تعطي طريقة AGM قيمة \(a_N \approx 0.997492\)، ومجموع مربعات c يساوي \(S \approx 0.01001256\)، ومن ثم \(K \approx 1.5747456\) و\(E = K(1 - 0.5\cdot S) \approx 1.566862\). وتتطابق هذه النتيجة مع التقريب بالمتسلسلة \(E(k) \approx (\pi/2)\left(1 - \tfrac{1}{4}k^2 - \tfrac{3}{64}k^4\right)\).
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(E(0)\)؟ تساوي \(\pi/2\) بالضبط \(\approx 1.5707963\)، لأن المُكامَل يؤول إلى 1.
ما قيمة \(E(1)\)؟ تساوي 1 بالضبط، لأن المُكامَل يصبح جيب تمام الزاوية \(\cos\theta\)، وتكامله من الصفر إلى \(\pi/2\) يساوي 1.
لماذا تنحصر قيمة \(k\) بين -1 و1؟ خارج هذا المجال يصبح المُكامَل عدداً تخيلياً عند بعض قيم θ، فلا تبقى \(E(k)\) عدداً حقيقياً.
