Qu'est-ce que l'intégrale elliptique complète de deuxième espèce ?
L'intégrale elliptique complète de deuxième espèce, notée \(E(k)\), est la fonction spéciale définie par l'intégrale de la racine carrée de (1 moins k au carré multiplié par sinus carré de thêta) entre 0 et pi/2. Elle apparaît dès qu'il faut calculer le périmètre exact d'une ellipse, la longueur d'arc d'une sinusoïde, la période d'un pendule de grande amplitude ou encore les facteurs d'intensité de contrainte des fissures elliptiques. L'argument \(k\) est appelé le module et doit être compris entre -1 et 1.
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le module \(k\) (un nombre sans dimension compris entre -1 et 1) et lisez directement \(E(k)\). Comme l'intégrande ne dépend que de \(k\) au carré, le résultat est symétrique : \(E(-k) = E(k)\). La fonction décroît de façon continue, de \(E(0) = \pi/2\) jusqu'à \(E(1) = 1\). Attention : cet outil prend directement le module \(k\), et non le paramètre \(m = k^{2}\) utilisé par certaines références.
La formule expliquée
Nous évaluons \(E(k)\) à l'aide de la moyenne arithmético-géométrique (AGM), dont la convergence est quadratique. On pose \(a_0 = 1\), \(b_0 = \sqrt{1 - k^2}\), \(c_0 = k\). À chaque étape, on calcule \(a = (a+b)/2\), \(b = \sqrt{a\cdot b}\) et \(c = (a-b)/2\) jusqu'à ce que \(c\) devienne négligeable. On obtient alors \(K(k) = \pi / (2\cdot a_N)\), l'intégrale de première espèce, puis \(E(k) = K(k)\cdot(1 - (1/2)\cdot \sum 2^n \cdot c_n^2)\). Cette approche évite les séries entières à convergence lente et atteint la précision machine en seulement quelques itérations.
Exemple détaillé
Pour \(k = 0{,}1\), on a \(m = 0{,}01\). L'AGM donne \(a_N \approx 0{,}997492\) et la somme des \(c\) au carré \(S \approx 0{,}01001256\), d'où \(K \approx 1{,}5747456\) et \(E = K(1 - 0{,}5\cdot S) \approx 1{,}566862\). Ce résultat concorde avec l'approximation en série \(E(k) \approx (\pi/2)(1 - (1/4)k^2 - (3/64)k^4)\).
Foire aux questions
Que vaut \(E(0)\) ? Exactement \(\pi/2 \approx 1{,}5707963\), car l'intégrande se réduit à 1.
Que vaut \(E(1)\) ? Exactement 1, car l'intégrande devient cosinus de thêta, dont l'intégrale de 0 à \(\pi/2\) vaut 1.
Pourquoi \(k\) est-il limité à l'intervalle -1 à 1 ? En dehors de cet intervalle, l'intégrande devient imaginaire pour certaines valeurs de thêta, et \(E(k)\) n'est alors plus un nombre réel.
