第2種完全楕円積分とは
第2種完全楕円積分は \(E(k)\) と表記され、\(\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}\) を \(\theta = 0\) から \(\pi/2\) まで積分して定義される特殊関数です。楕円の正確な周長、正弦波の弧長、大振幅振り子の周期、楕円形き裂の応力拡大係数など、さまざまな場面に登場します。入力する \(k\) は母数（モジュラス）と呼ばれ、\(-1\) から \(1\) の範囲内でなければなりません。
$$E(\text{k}) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}\; d\theta$$
本ツールの使い方
母数 \(k\)（\(-1 \le k \le 1\) の無次元数）を入力すると、\(E(k)\) の値が求まります。被積分関数は \(k^{2}\) のみに依存するため、結果は対称となり \(E(-k) = E(k)\) が成り立ちます。関数は \(E(0) = \pi/2\) から \(E(1) = 1\) へとなめらかに減少します。なお、本ツールは母数 \(k\) を直接入力する方式であり、一部の文献で用いられるパラメータ \(m = k^{2}\) ではない点にご注意ください。
計算式の解説
\(E(k)\) の評価には、2次収束する算術幾何平均（AGM）法を用います。初期値を \(a_{0} = 1\)、\(b_{0} = \sqrt{1 - k^{2}}\)、\(c_{0} = k\) と置き、各ステップで \(a = (a + b)/2\)、\(b = \sqrt{a \cdot b}\)、\(c = (a - b)/2\) を計算し、\(c\) が無視できる大きさになるまで繰り返します。このとき第1種積分は \(K(k) = \pi / (2 \cdot a_{N})\) で与えられ、第2種積分は \(E(k) = K(k) \cdot (1 - (1/2) \cdot \sum 2^{n} \cdot c_{n}^{2})\) となります。この方法は収束の遅いべき級数を回避でき、わずか数回の反復で計算機精度に達します。
計算例
\(k = 0.1\) のとき \(m = 0.01\) です。AGM により \(a_{N} \approx 0.997492\)、\(c^{2}\) の総和 \(S \approx 0.01001256\) が得られ、\(K \approx 1.5747456\)、\(E = K(1 - 0.5 \cdot S) \approx 1.566862\) となります。これは級数近似 \(E(k) \approx (\pi/2)(1 - (1/4)k^{2} - (3/64)k^{4})\) ともよく一致します。
よくある質問
\(E(0)\) はいくつですか？ 被積分関数が \(1\) になるため、ちょうど \(\pi/2 \approx 1.5707963\) です。
\(E(1)\) はいくつですか？ 被積分関数が \(\cos\theta\) となり、その \(0\) から \(\pi/2\) までの積分が \(1\) になるため、ちょうど \(1\) です。
なぜ \(k\) は \(-1\) から \(1\) に限られるのですか？ この範囲を超えると一部の \(\theta\) で被積分関数が虚数となり、\(E(k)\) が実数でなくなるためです。
