第3種完全楕円積分とは
第3種完全楕円積分は \(\Pi(n,k)\) と表記され、古典力学（減衰項を含む振り子の周期など）、電磁気学、幾何学などに現れる特殊関数です。\(\theta = 0\) から \(\pi/2\) までの区間で、1 を \((1 - n\sin^2\theta)\) と \(\sqrt{1 - k^2\sin^2\theta}\) の積で割った被積分関数を積分することで定義されます。本ツールはこれを数値的に評価する純粋数学のための計算機であり、地域や国に関係なく世界共通で同じ結果が得られます。
$$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - \text{n}\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$
採用している規約について
教科書によって規約が異なるため、ここでの定義をよくご確認ください。本ツールは母数 k 規約を採用しており、平方根の中身に \(k^2\sin^2\theta\) が入ります。文献によっては代わりに パラメータ m（\(m = k^2\)）を使う場合があります。また、係数 \((1 - n\sin^2\theta)\) における特性値 n は二乗せずにそのまま用います。一部の文献ではこの係数を \((1 + n\sin^2\theta)\) と書くため、それらに合わせる場合は \(n\) の符号を反転してください。なお \(k\) は二乗の形でのみ現れるため、\(k\) の符号は結果に影響しません。
使い方
特性値 \(n\) と母数 \(k\) を入力してください。通常の有限値を得るには \(|k| < 1\) かつ \(n < 1\) としてください。本ツールは複合シンプソン公式により 200,000 区間で積分し、入力が素直な場合はおよそ10桁以上の有効数字が得られます。
計算例
\(n = 0.7\)、\(k = 0.1\) とします。まず概算として $$\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}} = \frac{1.5707963}{\sqrt{0.3}} = 2.86790$$ が得られます。ここに小さな \(k = 0.1\) の補正を加えると値はわずかに増加し、厳密な数値積分により \(\Pi(0.7, 0.1) \approx 2.87224\) となります。
よくある質問
\(n = 0\) のときは？ このとき \(\Pi(0,k)\) は第1種完全楕円積分 \(K(k)\) に等しくなります。
\(k = 0\) のときは？ 被積分関数が簡単になり、\(n < 1\) のとき \(\Pi(n,0) = \dfrac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}}\) となります。
なぜ \(n = 1\) は許されないのですか？ 係数が \(\cos^2\theta\) となり、\(\theta = \pi/2\) で積分不可能な特異点が生じるため、積分は発散します。\(n > 1\) の場合はコーシーの主値が必要となりますが、この基本ツールでは計算できません。
