余弦積分 Ci(x) 計算 - 特殊関数の高精度計算

結果

余弦積分 Ci(x)

0.3374039229

無次元

計算方法	Power series (\|x\| ≤ 6) / asymptotic expansion (\|x\| > 6)
オイラー・マスケローニ定数	0.5772156649015329

余弦積分 Ci(x) とは

余弦積分 Ci(x) は、物理学・信号処理・電磁気学など幅広い分野で登場する特殊関数で、とくにアンテナ理論や振動積分の解析でよく用いられます。正の実数 $x$ に対しては、0 から $x$ までの $(\cos t - 1)/t$ の積分に、$x$ の自然対数とオイラー・マスケローニ定数 $\gamma$（約 0.5772156649）を加えたものとして定義されます。この計算サイトでは、任意の実数入力について Ci(x) を倍精度いっぱいの精度で求めます。

振動しながら0へ減衰する余弦積分 Ci(x) のグラフ — 余弦積分 Ci(x) は振幅を減らしながら振動し、x が大きくなると0に近づく。

使い方

入力欄に $x$ の値を入力して計算してください。結果は無次元量である Ci(x) の値です。実数値としての主値の定義域は $x > 0$ です。$x = 0$ では関数が負の無限大に発散する（対数特異点）ため、本計算サイトでは「未定義」と表示します。負の値を入力した場合は $\operatorname{Ci}(|x|)$ を返します。これは $\operatorname{Ci}(-x)$ の実部が $\operatorname{Ci}(x)$ に等しいためで、$\pm i\cdot\pi$ の虚部は省略しています。

公式の解説

定義式は $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$ です。被積分関数をテイラー級数に展開して項別積分すると、収束級数 $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} - \frac{x^6}{6\cdot 6!} + \cdots$$ が得られます。$x$ が小さい〜中程度（ここでは $|x| \le 6$）の範囲では、この級数は速やかかつ高精度に収束します。$x$ がより大きい場合は、漸近表現 $\operatorname{Ci}(x) = f(x)\cdot\sin(x) - g(x)\cdot\cos(x)$ に切り替えます。これにより、大きな引数で級数計算を悩ませる桁落ち（致命的な相殺）を回避できます。$x$ が大きくなると Ci(x) は $\sin(x)/x$ のように振動しながら 0 に向かって減衰していきます。

0 から x までの余弦積分の被積分関数の下の網掛け部分 — 積分項は 0 から x までの (cos t − 1)/t の符号付き面積を積み上げる。

計算例

$x = 1$ の場合：$\ln(1) = 0$ で、級数は $$-0.25 + 0.0104166667 - 0.0002314815 + 0.0000031002 - \cdots \approx -0.2398117421$$ となります。これに $\gamma = 0.5772156649$ を加えると $\operatorname{Ci}(1) = 0.3374039229$ となり、$x = 1$ における余弦積分の既知の参照値と一致します。