什麼是第三類完全橢圓積分？
第三類完全橢圓積分（記為 \(\Pi(n,k)\)）是一個特殊函數，經常出現在古典力學（例如含類阻尼項的單擺週期）、電磁學與幾何學中。它的定義是將 1 除以 (1 − n sin² θ) 與 √(1 − k² sin² θ) 的乘積，並從 θ = 0 積分到 π/2。本計算器以數值方法求出其值，屬於純數學工具，在世界各地的計算結果完全相同。
$$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - \text{n}\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$
本計算器採用的慣例
不同教科書所使用的慣例並不一致，因此請務必仔細閱讀。我們採用模數 k 的慣例：根號內為 \(k^{2}\sin^{2}\theta\)。有些文獻則改用參數 m，其中 \(m = k^{2}\)。此外，我們在因式 \((1 - n\sin^{2}\theta)\) 中使用特徵值 n，且 n 不取平方。少數教科書會把該因式寫成 \((1 + n\sin^{2}\theta)\)；若要與這類寫法對應，只需將 n 取相反符號即可。由於 k 只以平方形式出現，因此 k 的正負號不會影響計算結果。
使用方式
輸入特徵值 n 與模數 k。若想得到一般的有限數值，請維持 \(|k| < 1\) 且 \(n < 1\)。本工具採用複合辛普森法（composite Simpson's rule），分割為 200,000 個區間，對於行為良好的輸入值，通常可達到十位以上的有效位數。
範例演算
假設 n = 0.7、k = 0.1。可先做粗略估計：\(\Pi(n,0) = (\pi/2)/\sqrt{1 - n} = 1.5707963/\sqrt{0.3} = 2.86790\)。再加上 k = 0.1 帶來的微小修正，數值會略微上升；經由完整的數值積分，得到 \(\Pi(0.7, 0.1)\) 約為 2.87224。
常見問題
當 n = 0 時會如何？此時 \(\Pi(0,k)\) 等於 \(K(k)\)，也就是第一類完全橢圓積分。
當 k = 0 時會如何？被積函數會簡化，當 \(n < 1\) 時 \(\Pi(n,0) = (\pi/2)/\sqrt{1 - n}\)。
為什麼不允許 n = 1？因為此時因式會變成 \(\cos^{2}\theta\)，在 \(\theta = \pi/2\) 處產生無法積分的奇異點，導致積分發散。而 \(n > 1\) 的情形則需要計算柯西主值（Cauchy principal value），本基礎計算器並不支援這項運算。
