Üçüncü Tür Tam Eliptik İntegral Pi(n,k) Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

n (karakteristik)

k (modül)

Convention: integrand contains k²·sin²θ (modulus k) and the factor 1 − n·sin²θ. Requires |k| < 1 and n < 1 for a finite ordinary value.

Sonuç

Π(n, k)

2,8771910188

boyutsuz

İntegrand	1 / [ (1 − n·sin²θ) · √(1 − k²·sin²θ) ]
Konvansiyon	modulus k (k²), characteristic factor 1 − n·sin²θ
Yöntem	Bileşik Simpson, 200000 dilim

Üçüncü tür tam eliptik integral nedir?

Pi(n,k) ile gösterilen üçüncü tür tam eliptik integral, klasik mekanikte (sönümlemeye benzer terimler içeren bir sarkacın periyodunda), elektromanyetizmada ve geometride karşımıza çıkan özel bir fonksiyondur. (1 - n sin² theta) ile (1 - k² sin² theta) ifadesinin karekökünün çarpımına bölünen 1 sayısının, theta = 0'dan pi/2'ye kadar integrali olarak tanımlanır. Bu araç söz konusu integrali sayısal olarak hesaplar; saf bir matematik aracıdır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.

$$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - \text{n}\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$

Tam eliptik integral, theta açısını 0'dan π/2'ye kadar integre eder.

Burada kullanılan konvansiyon

Konvansiyonlar ders kitaplarına göre farklılık gösterir, bu yüzden bu bölümü dikkatle okuyun. Biz modül k konvansiyonunu kullanıyoruz: karekök içinde k² sin² theta yer alır. Bazı kaynaklar bunun yerine, m = k² olacak şekilde parametre m kullanır. Ayrıca (1 - n sin² theta) çarpanında n'yi karesini almadan, yani karakteristik n olarak kullanıyoruz. Birkaç kaynak bu çarpanı (1 + n sin² theta) biçiminde yazar; bunlarla uyum sağlamak için n'nin işaretini ters çevirin. k yalnızca kareli biçimde göründüğünden, k'nın işareti sonucu değiştirmez.

Reklam

Bu araç, parametre kuralından farklı olan modül k kuralını (m = k²) kullanır.

Nasıl kullanılır?

Karakteristik n ve modül k değerlerini girin. Sonlu, olağan bir değer için \(|k| < 1\) ve \(n < 1\) koşulunu koruyun. Araç, 200.000 dilim kullanarak bileşik Simpson kuralıyla integral alır ve düzgün girdiler için yaklaşık on veya daha fazla anlamlı basamak doğruluk sağlar.

Çözümlü örnek

\(n = 0{,}7\) ve \(k = 0{,}1\) alalım. Hızlı bir tahmin $$\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}} = \frac{1{,}5707963}{\sqrt{0{,}3}} = 2{,}86790$$ şeklindedir. Küçük \(k = 0{,}1\) düzeltmesini eklemek bu değeri biraz yükseltir ve tam sayısal integrasyon sonucunda \(\Pi(0{,}7;\ 0{,}1)\) yaklaşık \(2{,}87224\) elde edilir.

Sıkça sorulan sorular

n = 0 olursa ne olur? Bu durumda \(\Pi(0,k)\), birinci tür tam eliptik integral olan \(K(k)\)'ya eşittir.

k = 0 olursa ne olur? İntegrand sadeleşir ve \(n < 1\) için $$\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}}$$ olur.

n = 1 neden kabul edilmez? Çarpan cos² theta'ya dönüşür ve theta = pi/2 noktasında integrali alınamayan bir tekillik oluşturur, böylece integral ıraksar. \(n > 1\) değerleri ise bu temel hesaplayıcının hesaplamadığı bir Cauchy ana değeri gerektirir.