Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, iki tam eliptik integral için bir tablo oluşturur: birinci tür \(K(k)\) ve ikinci tür \(E(k)\); her ikisi de bir dizi modül değeri \(k\) boyunca hesaplanır. Bir başlangıç değeri, bir adım büyüklüğü ve istediğiniz satır sayısını girersiniz; hesaplayıcı \(k\)'yı başlangıç değerinden itibaren her satırda adım kadar artırarak ilerletir ve her satır için \(K(k)\) ve \(E(k)\) değerlerini verir. Bu, tamamen matematiksel bir konudur (özel fonksiyonlar) ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
k'nın başlangıç değerini (modül; \(-1 \le k \le 1\) aralığında, birimsiz bir oran), her satırda \(k\)'ya eklenen artış miktarını (negatif olabilir) ve tekrar sayısını (satırlar; \(\ge 1\) olan bir tam sayı) girin. Örneğin başlangıç 0, adım 0,02 ve 51 satır seçerseniz \(k\), 0,00'dan 1,00'a kadar taranır. İntegraller yalnızca \(k\)'nın karesine bağlı olduğundan, negatif \(k\) değeri pozitif \(k\) ile aynı sonucu verir.
Formülün açıklaması
Buradaki değişken, \(m = k^2\) parametresi değil, modül \(k\)'dır. İntegral biçiminde $$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}$$ E(k) ise aynı aralıkta $$E(k) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\; d\theta$$ Bunları, hızlı ve yüksek hassasiyetli Aritmetik-Geometrik Ortalama (AGM) yöntemiyle hesaplarız: $$K(k) = \frac{\pi}{2 \cdot \operatorname{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2})}$$ E için AGM'nin c terimlerini biriktiririz: $$E(k) = K(k) \cdot \left(1 - \sum 2^{n-1} c_n^2\right)$$ burada \(c_0^2 = k^2\).
Çözümlü örnek
\(k = 0{,}5\) için: \(1 - k^2 = 0{,}75\), karekök \(= 0{,}8660254\). \(\operatorname{AGM}(1, 0{,}8660254) \approx 0{,}9318082\) olduğundan $$K(0{,}5) = \frac{\pi}{2 \cdot 0{,}9318082} = 1{,}6857503548$$ c terimlerinin toplamı \(\approx 0{,}1339804\) olup $$E(0{,}5) = 1{,}6857503548 \cdot (1 - 0{,}1339804) = 1{,}4603362889$$ verir.
Sıkça sorulan sorular
k = 1 olduğunda ne olur? \(K(1)\) sonsuza ıraksar; \(E(1)\) tam olarak 1'dir. Tabloda, bu sınır satırında hata vermek yerine K için "Sonsuz" ve E için 1 gösterilir.
Hesaplayıcı k mı yoksa m mi kullanıyor? Modül \(k\)'yı kullanır. Elinizde \(m\) parametresi varsa, girmeden önce karekökünü alın (\(k = \sqrt{m}\)).
|k| > 1 durumunda ne olur? Bu, gerçel tanım aralığı olan \(-1 \le k \le 1\)'in dışındadır; bu tür satırlar tanım dışı olarak işaretlenir.
