Что делает этот калькулятор
Этот инструмент строит таблицу двух полных эллиптических интегралов: K(k) — интеграла первого рода и E(k) — второго рода, вычисленных для последовательности значений модуля k. Вы задаёте начальное значение, величину шага и нужное количество строк, а калькулятор увеличивает k от стартового значения, прибавляя шаг в каждой строке, и выводит K(k) и E(k) для каждой из них. Это чистая математика (специальные функции), и результат одинаков в любой точке мира.
Как пользоваться
Введите начальное значение k (модуль — безразмерное отношение в диапазоне \(-1 \le k \le 1\)), шаг, который прибавляется к k в каждой строке (он может быть отрицательным), и число повторений (количество строк — целое число \(\ge 1\)). Например, начальное значение 0, шаг 0,02 и 51 строка дадут пробег k от 0,00 до 1,00. Интегралы зависят только от k в квадрате, поэтому отрицательное k даёт те же значения, что и положительное.
Разбор формулы
Аргументом здесь служит именно модуль k, а не параметр \(m = k^2\). В интегральной форме K(k) — это интеграл от 0 до pi/2 от dθ / sqrt(1 - k² sin²θ), а E(k) — интеграл от sqrt(1 - k² sin²θ) dθ на том же отрезке.
$$K(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}}, \qquad E(k_i) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k_i^2 \sin^2\theta}\; d\theta$$Мы вычисляем их быстрым и высокоточным методом арифметико-геометрического среднего (АГС): \(K(k) = \pi / (2 \cdot \operatorname{AGM}(1, \sqrt{1 - k^2}))\). Для E накапливаем c-члены АГС: \(E(k) = K(k) \cdot (1 - \sum 2^{n-1} c_n^2)\), где \(c_0^2 = k^2\).
Разбор примера
Пусть \(k = 0{,}5\): тогда \(1 - k^2 = 0{,}75\), а \(\sqrt{} = 0{,}8660254\). \(\operatorname{AGM}(1,\, 0{,}8660254) \approx 0{,}9318082\), поэтому \(K(0{,}5) = \pi / (2 \cdot 0{,}9318082) = 1{,}6857503548\). Сумма c-членов \(\approx 0{,}1339804\), откуда \(E(0{,}5) = 1{,}6857503548 \cdot (1 - 0{,}1339804) = 1{,}4603362889\).
Частые вопросы
Что происходит при \(k = 1\)? K(1) расходится и стремится к бесконечности, а \(E(1) = 1\) точно. В крайней строке таблица показывает «Бесконечность» для K и 1 для E, а не выдаёт ошибку.
Калькулятор работает с k или с m? Он использует модуль k. Если у вас задан параметр m, перед вводом возьмите его квадратный корень (\(k = \sqrt{m}\)).
А если \(|k| > 1\)? Это выходит за пределы вещественной области \(-1 \le k \le 1\) — такие строки помечаются как находящиеся вне области определения.
