Что такое интегралы Френеля?
Интегралы Френеля \(S(x)\) и \(C(x)\) — это специальные функции, которые встречаются в оптике (дифракция в ближней зоне на краях и отверстиях), в электродинамике, а также при расчёте переходных кривых автомобильных и железных дорог. Если отложить \(C(x)\) по горизонтальной оси, а \(S(x)\) — по вертикальной, получится изящная спираль Корню (спираль Эйлера). Этот калькулятор вычисляет оба интеграла для любого вещественного аргумента \(x\).
Формула и используемые соглашения
По умолчанию инструмент работает в нормированной форме (pi/2) — самой распространённой записи:
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$
В ненормированном варианте аргумент подынтегральной функции \(\frac{\pi}{2}t^{2}\) заменяется просто на \(t^{2}\):
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(t^{2}\right)dt$$
Обе функции нечётные: \(S(-x) = -S(x)\) и \(C(-x) = -C(x)\). При \(x\), стремящемся к \(+\infty\), и \(S\), и \(C\) приближаются к значению \(\tfrac{1}{2}\).
Как пользоваться калькулятором
Введите значение \(x\), выберите соглашение и сразу получите \(S(x)\) и \(C(x)\) с точностью до нескольких значащих цифр. При \(x = 0\) оба интеграла в точности равны \(0\). Для отрицательных аргументов нечётность функций учитывается автоматически.
Как ведётся расчёт
Элементарной формулы в замкнутом виде не существует, поэтому калькулятор применяет составную формулу Симпсона на отрезке \([0, |x|]\) с мелким разбиением (не менее 1000 подынтервалов, причём их число растёт вместе с \(|x|\), чтобы отслеживать всё более частые колебания подынтегральной функции). Знак \(x\) учитывается в самом конце, поскольку подынтегральные функции нечётные. Для умеренных \(|x|\) это даёт совпадение со справочными значениями примерно до шести знаков после запятой.
Разбор примера
Для \(x = 1\) в нормированной форме: \(C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)dt \approx 0{,}7798934\), а \(S(1) \approx 0{,}4382591\). При \(x = 2\) значение \(C(2) \approx 0{,}488253\), а \(S(2) \approx 0{,}343416\).
Частые вопросы
Какое соглашение выбрать? В большинстве учебников по физике и инженерным дисциплинам (а также в таблицах дифракции) используется нормированная форма с \(\frac{\pi}{2}\) — именно она задана здесь по умолчанию.
Что такое спираль Корню? Это параметрическая кривая \((C(x), S(x))\); с ростом \(x\) она закручивается к точкам \((\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})\) и \((-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2})\).
Насколько точен результат? Формула Симпсона на выбранной сетке обычно совпадает со справочными таблицами примерно до шести знаков после запятой при \(|x|\) примерно до 6.
