什麼是菲涅耳積分？
菲涅耳積分 \(S(x)\) 與 \(C(x)\) 是一組特殊函數，廣泛出現在光學（邊緣與孔徑的近場繞射）、電磁學，以及公路與鐵路緩和曲線的設計中。若以 \(C(x)\) 為橫軸、\(S(x)\) 為縱軸描繪，便會勾勒出優雅的柯紐螺線（又稱歐拉螺線）。本計算機可針對任意實數引數 \(x\)，同時求出這兩個積分值。
公式與定義慣例
本工具預設採用最常見的歸一化 (π/2) 定義：
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt, \qquad C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)dt$$
另外也提供非歸一化選項，此時被積函數中的引數 \((\pi/2)t^{2}\) 會直接改為 \(t^{2}\)。兩個函數都是奇函數：\(S(-x) = -S(x)\)、\(C(-x) = -C(x)\)。當 \(x\) 趨近於 \(+\infty\) 時，\(S\) 與 \(C\) 都會趨近於 \(1/2\)。
使用方法
輸入 \(x\) 值、選擇定義慣例，即可讀取到多位有效數字的 \(S(x)\) 與 \(C(x)\)。當 \(x = 0\) 時，兩個積分值恰好都是 \(0\)。若輸入負數引數，系統會自動套用奇函數性質計算。
計算原理
由於菲涅耳積分沒有初等的封閉解，本計算機採用複合辛普森法（Simpson's rule），在區間 \([0, |x|]\) 上以細密網格進行數值積分（至少 1000 個子區間，並隨 \(|x|\) 增大而調整，以追蹤愈來愈快速的振盪）。由於被積函數為奇函數，\(x\) 的正負號會在最後才套用。對於中等大小的 \(|x|\)，計算結果可與已發表的參考值吻合至約六位小數。
範例演算
以歸一化定義、\(x = 1\) 為例：\(C(1)\) 為 \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t^{2}\right)\) 從 0 到 1 的積分，約為 \(0.7798934\)；而 \(S(1)\) 約為 \(0.4382591\)。當 \(x = 2\) 時，\(C(2)\) 約為 \(0.488253\)，\(S(2)\) 約為 \(0.343416\)。
常見問題
我該選哪一種定義慣例？大多數物理與工程教科書（以及繞射數值表）都採用歸一化的 \(\pi/2\) 形式，也就是本工具的預設值。
柯紐螺線是什麼？它是以 \((C(x), S(x))\) 為參數的曲線；當 \(x\) 不斷增大時，曲線會分別向 \((1/2, 1/2)\) 與 \((-1/2, -1/2)\) 兩點盤旋收斂。
計算結果有多精準？採用上述網格的辛普森法，對於 \(|x|\) 約在 6 以內的情況，通常可與參考數值表吻合至約六位小數。
